|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
2 |
λ2 |
|
|||
M 2= |
k+1 |
|
|||||
|
|
. |
(1.5.7) |
||||
|
k−1 |
|
|||||
|
1− |
λ2 |
|
||||
|
k+1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
РАЗДЕЛ 2. ОДНОМЕРНЫЕ ГАЗОВЫЕ ПОТОКИ
2.1 Звуковые волны. Скорость звука. Излучение звука
Найдем скорость распространения малых возмущений плотности и давления по газу (скорость звука). Рассмотрим идеальный газ, то есть подчиняющийся уравнению Клапейрона. Полагаем, что газ является совершенным, то есть его вязкость и теплопроводность пренебрежимо малы и их можно не учитывать. Полагаем также, что в рассматриваемом процессе газ является баротропным, то есть его давление является однозначной функцией его плотности P(ρ). Баротропными, например, являются изотермический и адиабатический процессы. Для простоты будем рассматривать только пространственно одномерные процессы, полагая, что все параметры газа в рассматриваемой области меняются по времени и лишь по одной пространственной координате. В данном случае будем полагать, что этой координатой является декартова координата X, то есть все параметры изменяются только вдоль этой оси. Это означает, что все параметры газа сохраняют постоянные значения в плоскостях, параллельных плоскости, образуемой осями OY и OZ. Такие волны называются плоскими волнами.
Газ характеризуют параметры P, ρ, T – давление, плотность и температура соответственно, а также его макроскопическая скорость
W =(W x ,W y ,W z) . В газе, в отличие от твердых тел, могут существовать
только продольные волны [2], скорость газа в которых направлена вдоль направления распространения волны (в данном случае – вдоль оси X), таким образом в газе только W=Wx отлична от нуля.
Соответствующие уравнения сохранения имеют следующий вид. Уравнение неразрывности
∂ ρ |
+ |
∂ |
|
(ρ W )=0 . |
(2.1.1) |
∂t |
∂ x |
|
|||
|
|
|
|
Уравнение движения (в данном случае уравнение Эйлера)
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
∂W |
+W |
∂ |
W =− |
1 |
|
∂ |
P . |
(2.1.2) |
|
∂t |
∂ x |
ρ ∂ x |
|||||||
|
|
|
|
||||||
В общем случае P, ρ, W – три неизвестные функции и для нахождения решения уравнений (2.1.1), (2.1.2) необходимо добавить зависимость P(ρ), а также выставить начальные и граничные условия.
Простейшая постановка проблемы, иначе называемая методом малых возмущений, заключается в следующем.
Газ изначально предполагается покоящимся, а создаваемые в нем возмущения давления, плотности и скорости – малыми, P = P0+p', ρ = ρ0+ ρ', W = w. Здесь p', ρ', w – соответствующие возмущения давления, плотности и скорости, величины P0, ρ0 – соответствуют давлению и плотности газа в отсутствие звуковых волн.
Из баротропности процесса P(ρ) следует полезное соотношение
|
∂ |
dP |
∂ ρ |
|
dP ∂ ρ ' |
|
|
|
|
||||||
|
|
P=( |
|
|
) |
∂ x |
=( |
|
)0 ∂ x |
. |
|
|
|
||
|
∂ x |
d ρ |
d ρ |
|
|
|
|||||||||
Так как |
( |
dP |
) >0 , ведь давление совершенного газа растет вместе с |
||||||||||||
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
d ρ 0 |
|
|
|
|
|
dP |
|
||||
плотностью, далее будем обозначать |
( |
) =a02 . |
|||||||||||||
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d ρ 0 |
||
Отбрасывая в уравнениях (2.1.1), (2.1.2) малые члены, пропорциональные (ρ' w), (ρ' ρ'), (w w ) (как их называют, члены второго порядка малости), получаем
∂ ρ ' +ρ 0 |
∂w =0 |
, |
(2.1.3) |
|||||
∂t |
|
∂ x |
|
|
|
|||
ρ0 |
∂ w |
+a02 |
∂ ρ ' |
=0 . |
(2.1.4) |
|||
∂t |
∂ x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||
Дифференцируя (2.1.3) по t , а (2.1.4) по x и вычитая одно из другого получаем уравнение для возмущения плотности в звуковой волне
∂2 ρ ' |
2 |
∂2 ρ ' |
=0 . |
∂t2 |
−a0 |
∂ x2 |
|
|
|
Дифференциальные уравнения вида (2.1.5) уравнениями. В случае, когда рассматривается волновое уравнение имеет вид
(2.1.5)
называют волновыми
трехмерная задача,
|
|
|
17 |
∂2 ρ ' |
2 |
ρ '=0 . |
(2.1.6) |
∂t2 |
−a0 |
||
|
|
|
|
Здесь |
– оператор Лапласа. |
|
|
Аналогично, дифференцируя (2.1.4) по t , а (2.1.3), домножив на a20 ,
дифференцируя по x, и далее вычитая одно из другого, получаем уравнение для скорости газа в звуковой волне
∂2 w −a02 ∂2 w =0 . |
(2.1.7) |
||
∂t2 |
∂ x2 |
|
|
Учитывая, что |
p' =a02 ρ ' |
, для возмущений давления в звуковой волне |
|
получаем аналогичное волновое уравнение |
|||
∂2 p' |
−a02 ∂2 p ' |
=0 . |
(2.1.8) |
∂t2 |
∂ x2 |
|
|
Как легко проверить, решение волнового уравнения имеет вид
w = f(x+a0 t) + g(x-a0 t), где f и g – произвольные функции. Их конкретный вид зависит от начальных условий задачи.
Функция f(x+a0t) сохраняет постоянное значение в разные моменты времени в точках x + a0t = const, что соответствует плоской волне, бегущей справа налево со скоростью a0. Аналогично g(x-a0 t) сохраняет постоянное значение в разные моменты времени в точках x - a0t = const, что соответствует волне, бегущей слева направо со скоростью a0 .
Естественно назвать величину a0=√( ddPρ )0 скоростью звука. Хотя
скорость звука получена нами в случае плоских волн, решение общего уравнения (2.1.6) дает тот же результат.
Исторически первой была выдвинута гипотеза Ньютона, который предположил, что процесс распространения звуковых волн является
изотермическим, |
то |
есть в |
волне |
P |
=RT 0=const . В таком случае |
|||||||||||
ρ |
||||||||||||||||
|
dP |
|
P0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
( |
) = |
=R T 0 . |
|
|
Этому |
процессу |
соответствует изотермическая |
|||||||||
d ρ |
ρ 0 |
|
|
|||||||||||||
|
0 |
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
скорость звука |
aT = |
|
P |
=√ |
|
|
. |
|
|
|||||||
|
|
R T |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ |
|
|
|
|
||||
Лишь впоследствии была выдвинута гипотеза Лапласа, что процесс распространения звука в газе является адиабатическим, то есть в волне
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
dP |
|
P0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
=const . |
В таком случае |
( |
|
) =k |
|
|
=kRT 0 |
. Этому процессу |
||||||||
|
ρ |
k |
d ρ |
ρ |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|||
соответствует адиабатическая скорость звука |
|
aS= |
k |
P |
=√ |
|
. |
||||||||||||
|
|
k RT |
|||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
Для воздуха |
aS =20.1√ |
|
м/с. |
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ |
|||||||
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Характер развивающихся в потоке газа явлений определяется |
|||||||||||||||||
отношением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
М = |
скоростьпотока |
|
|
. |
|
скорость распространениявозмущенийв потоке |
||
Напомним, что безразмерная величина M называется числом Маха потока.
Колеблющееся в газе тело производит вокруг себя периодическое сжатие и разрежение и таким образом приводит к возникновению звуковых волн. Источником энергии, уносимой этими волнами, является кинетическая энергия движущегося тела. Таким образом, можно говорить об излучении звука колеблющимися телами. Излучение звука происходит также и при турбулентном течении газа, так как турбулентные пульсации скорости также являются источником возбуждения звука в окружающей среде.
2.2 Волны конечной интенсивности. Инварианты Римана. Характеристики
В предыдущем параграфе рассматривались волны лишь малой интенсивности. Рассмотрение более общего случая производится следующим образом.
Введем функцию давления Π, которую определяют через ее
дифференциал, |
d Π = |
dP |
= |
1 |
|
dP |
d ρ |
=aS |
d ρ |
, где aS – местная |
|
aS |
|
d ρ |
ρ |
ρ |
|||||
|
|
ρ aS |
|
|
|
|||||
скорость звука, aS=√( ddPρ ) . Для баротропных процессов P и aS – однозначные функции плотности ρ. Так как для адиабатического процесса
|
P |
2 |
|
|
P |
|
|
|
k−1 |
|
d ρ |
|
2 d aS |
|
||
|
|
=const ,aS |
=k |
|
=const |
ρ |
|
, то |
|
= |
|
|
|
. |
||
|
ρ k |
ρ |
|
ρ |
k −1 |
aS |
||||||||||
Таким образом |
d Π = |
2 |
d aS |
, а значит |
|
|||||||||||
k−1 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
|
Π = |
2 |
(aS−a0) . |
(2.2.1) |
|
k−1 |
||||
|
|
|
Здесь a0 – скорость звука в газе при некоторых фиксированных параметрах (они выбираются из соображений удобства).
Уравнения (2.1.1) и (2.1.2), описывающие волны произвольной амплитуды, если выразить плотность и давление через функцию давления, могут быть переписаны в виде
∂Π |
+aS |
∂W +W ∂Π =0 |
, |
|||||
∂t |
|
∂ x |
∂ x |
|
|
|||
∂W |
+W |
∂ |
|
W +aS |
∂Π |
=0 . |
||
∂t |
∂ x |
∂ x |
||||||
|
|
|
|
|||||
Почленно складывая и вычитая эти уравнения, получаем систему
∂(Π +W ) |
+(W +aS) |
∂(Π +W ) |
=0 , |
∂t |
|
∂ x |
|
∂(Π −W ) |
+(W −aS) |
∂(Π −W ) |
=0 . |
∂t |
|
∂ x |
|
(2.2.2)
(2.2.3)
(2.2.4)
(2.2.5)
Комплекс r = Π+W – называют первым инвариантом Римана, комплекс s = Π – W – вторым инвариантом Римана.
Из уравнения (2.2.4) следует, что в точке, движущейся вдоль оси X со скоростью aS + W постоянен комплекс r. Данная точка на графике в координатах x, t описывает кривую, которая называется характеристикой 1-го рода. По таким характеристикам распространяется семейство волн (семейство C1) движущихся по результирующему потоку газа
Из уравнения (2.2.5) следует, что в точке, движущейся вдоль оси X со скоростью -aS + W постоянен комплекс s. Данная точка на графике в координатах x, t описывает кривую, которая называется характеристикой 2-го рода. Это соответствует волнам, распространяющимся против потока газа (семейству C2).
Характер волн семейств C1 и C2 различен. Семейство C1 , в котором газ и волна движутся в одном и том же направлении – волны сжатия газа. Скорость их распространения тем выше, чем интенсивнее возмущение.
Семейство C2 , в котором газ и волна движутся в противоположных направлениях – волны разрежения газа. Скорость их распространения падает с ростом их амплитуды.