9

Рисунок 1.3.1. Эпюра скорости вязкого потока у стенки

В случае идеальной жидкости (вязкость μ = 0, плотность ρ = const) уравнение (1.3.1) переходит в уравнение Эйлера

В последующем мы достаточно часто будем использовать уравнение движения в простейшей форме для стационарного течения в канале постоянного сечения S

Здесь F friction , F mech – соответственно сила трения, действующая на боковые поверхности канала и сила, с которой газ действует вдоль

направления своего движения на машину внутри канала (лопатки компрессора и т. п.), получающую от газа техническую работу.

При отсутствии трения и совершения технической работы (1.3.3) сводится к соотношению

1.4Уравнение энергии

Всамом общем виде данное уравнение (закон сохранения энергии) записывается в следующей дифференциальной форме

Здесь u – удельная внутренняя энергия среды; q – массовая плотность источников тепла.

Однако использовать уравнение (1.4.1) в самом общем виде в данном курсе мы будем весьма редко. Значительно чаще нам потребуется уравнение энергии в стационарном случае. Последнее записывается, обычно для элементарной струйки, рис. 1.2.1. Для входного (1 – 1') и выходного (2 – 2') сечений элементарной струйки, по которой за время dt проходит массовый расход газа dG=ρ1 W 1 S1 dt=ρ 2 W 2 S2 dt=idem ,

Здесь dA – работа, совершаемая над газом; dQ – количество тепла, переданного газу извне; dl – механическая работа, совершаемая газом; dlfric – работа сил трения; dEK – изменение кинетической энергии; dEP – изменение потенциальной энергии, если течение происходит в поле массовых сил; dET – изменение внутренней энергии.

Изменение кинетической энергии:

Изменение потенциальной энергии:

dEP=dG g ( z2−z1 ) .

Изменение внутренней энергии в случае постоянной изохорной теплоемкости CV:

dET =dG(u2−u1)=dG CV (T 2−T 1) .

Работа, совершаемая над газом:

dA=A2+A1 .

Здесь A1 – работа сжатия, совершаемая над газом при входе в трубку тока. Она положительна, так как газ сжимается,

11

A1=P1 dG .

ρ 1

A2 – работа расширения, совершаемая газом при выходе из трубки тока. Она отрицательна, так как газ расталкивает окружающую среду,

Разделив левую и правую части на dG получим соотношение, связывающее уже удельные величины (то есть отнесенные к 1 кг вещества)

Выделение тепла Q в движущейся среде происходит вследствие двух различных процессов. Во-первых, некое количество тепла Qout выделяется благодаря действию внешних факторов (нагрев стенок канала, протекание электрического тока и другие). Во-вторых, вследствие наличия трения, которое совершает работу Lfric, часть механической энергии переходит в

тепловую Qfric = Lfric.

Учитывая, что удельная энтальпия вещества определяется как

h=u+ Pρ , а для газа с постоянной теплоемкостью (наиболее часто рассматриваемый нами случай)

RT = Pρ , u=CV T ,

12

где R – газовая постоянная, C P=CV +R (формула Майера), уравнение

Для энергетически изолированных течений, когда среда не совершает механической работы и к ней не подводится тепло, а изменение потенциальной энергии пренебрежимо мало (в газовых машинах это весьма частый случай), уравнение энергии принимает наиболее простой вид

Величина h0 называется полной энтальпией или, иначе, энтальпией полного торможения, так как соответствует термодинамической энтальпии газа после его полного адиабатического торможения. Соответствующая этому температура T0 , которую принимает газ, называется температурой полного торможения.

Легко видеть, что для случая несжимаемой среды ( ρ =const ), когда при течении жидкости внутренняя энергия не меняет своего значения,

закон сохранения полной энтальпии (1.4.4) сводится к известному интегралу Бернулли

1.5 Предельная скорость движения газа. Число Маха и коэффициент скорости

Как уже было получено в предыдущем параграфе, для газового потока при отсутствии энергетического обмена с окружающей средой,

В таком случае, если газ истекает через сопло, например, в вакуум, из объема, где он покоится и имеет температуру T0 , то можно определить ту максимальную скорость, которую он способен приобрести. Так как

13

давление и плотность газа в вакууме равны нулю, то газ, истекая в вакуум, адиабатически расширяется, а его температура падает до абсолютного нуля. Таким образом в вакууме для газа P = 0, T = 0, ρ = 0, а значит, и энтальпия h = 0. В соответствии с (1.5.1) получаем максимально возможную скорость истечения газа в вакуум

Для воздуха, так как у него CP = 1000 Дж/(кг К) = const, формула упрощается,

W max=44.8 √T 0 .

Для случая T0 = 300 К получаем Wmax = 776 м/с.

Для произвольного сечения сопла, в котором термодинамическая энтальпия газа равна h,

В случае идеального газа (постоянная теплоемкость), воспользовавшись

величинах подробно будет говориться в следующей главе), вместо (1.5.3) получаем

T 0−T =(k−1) M 2 .

T 2

Отсюда получаем весьма полезную формулу, позволяющую найти температуру полного торможения газа

Число Маха M выступает в данном случае в виде безразмерной скорости газового потока. В качестве масштаба скорости as используется скорость звука (скорость распространения слабых колебаний давления) в газе при текущей его температуре.

14

В случае M < 1 течение газа называется дозвуковым, M > 1 – сверхзвуковым, а при M ~ 1 течение именуется трансзвуковым. Следует отметить, что выбор в качестве масштаба скорости звука в газе при текущей его температуре далеко не всегда удачен. Например, в задаче об истечении газа в вакуум температура газа на выходе из сопла близка к нулю, T → 0, а значит, что as → 0, в то время как M → ∞.

В такого рода задачах удобнее использовать масштаб скорости, который не зависит от конкретного рассматриваемого сечения. В качестве такового используют скорость звука в газе в критическом сечении сопла. Критическим называется сечение, в котором скорость газа в точности равна скорости звука в нем, в этом сечении M = 1. Температура в этом сечении, в соответствии с (1.5.4), равна

Скорость звука в критическом сечении acrit , определяемая через скорость звука при параметрах торможения a0=√k R T 0 ,

Формулу (1.5.2) можно теперь записать в виде

W max=a0 √k 2 1 .

−

Обезразмеренная на величину acrit скорость газового потока называется

коэффициентом скорости λ,

Для максимальной скорости истечения коэффициент скорости, в отличие от числа Маха, конечен,

Связь между числом Маха и коэффициентом скорости взаимно однозначна