89

ПРИЛОЖЕНИЯ. ЗАДАЧИ, РЕШАЕМЫЕ НА СЕМИНАРАХ И В РАСЧЕТНОМ ЗАДАНИИ

П1. Гидравлическое сопротивление трубы при ее внезапном расширении

Задача: Определить потери полного давления [1] (необратимые потери давления полного торможения) в потоке газа при внезапном расширении сечения канала от величины S1 до S2, рис. П1.1.

Рисунок П1.1. Внезапное расширение сечения канала

Решение: Будем считать газ несжимаемым (ρ = const), давление будем считать постоянным в каждом сечении, вплоть до места, где канал резко расширяется. Полагаем, что давление и скорость потока всюду в канале изменяются достаточно плавно, несмотря на то, что его сечение в месте расширения изменяется скачком. Данное предположение не очевидно, однако, – это экспериментальный факт. Пусть на входе в широкую часть канала (сечение 1) газ имеет скорость W1, давление P1; за расширением же (сечение 2) – скорость W2, давление P2. Давление полного торможения в каждом из сечений определяется из интеграла Бернулли как

Для газа, текущего по каналу, должны выполняться уравнения сохранения массы и количества движения. Первое из них можно записать следующим образом,

G=ρ1 W 1 S1=ρ 2W 2 S2=idem .

Уравнение сохранения количества движения, пренебрегая силами трения, запишем, рассматривая баланс сразу же после расширения канала

90

(P1−P2) S2=G(W 2−W 1) .

Выражая разность давлений через скорость потока, для искомого изменения давления полного торможения в потоке, после несложных выкладок получаем,

91

П2. Расчет простейшего эжектора

Задача: Простейший эжектор состоит из сопла А и цилиндрической смесительной трубы В, расположенных в пространстве, заполненном неподвижной жидкостью, рис. П2.1. Из сопла истекает струя, которая подсасывает жидкость из окружающего пространства. Определить соотношение между массовым расходом жидкости G1 из сопла и расходом смеси на выходе из смесительной трубы G2 .

Рисунок П2.1. Простейший эжектор

Решение: Предполагаем, что на выходе из смесительной трубы скорость и плотность результирующей смеси постоянны по выходному сечению. Построим контрольную поверхность, состоящую из сечений 1 – 1' и 2 – 2' на выходе из сопла и смесительной трубы соответственно, а также из боковых поверхностей, как показано на рис. П2.1. На всей контрольной поверхности давление одно и то же, равное давлению в окружающей среде. Таким образом, если пренебречь потерями на трение, суммарное количество движения с в системе обязано сохраняться.

Изменение количества движения у струи, вытекающей из сопла (активной струи) G1 (W 2−W 1) . Здесь W1 , W2 – скорость жидкости на выходе из сопла и смесительной трубы соответственно. Для жидкости, подсосанной из окружающего пространства, где она покоилась (W = 0), соответствующее изменение количества движения составит (G2−G1 )(W 2−0) .

Так как суммарное количество движения не изменилось, то

G2 W 2−G1 W 1=0 .

Таким образом

92

G2 = W 1 .

G1 W 2

С другой стороны, отношение массовых расходов равно

где S1 , S2 – поперечное сечение сопла и смесительной трубы соответственно, а ρ1 , ρ2 – плотность среды в соответствующих сечениях. Отсюда следует, что

В случае, если каналы имеют круглое сечение c диаметрами D1 , D2 соответственно, а среда имеет постоянную плотность, соотношение (П2.1) принимает вид