то есть средняя скорость движения жидкости внутри следа падает обратно пропорционально x2/3 .

Движение жидкости в каждом участке длины следа характеризуется числом Рейнольдса Re~ aw/ν. Подставляя (5.1.7 ) и (5.1.8), получаем:

Мы видим, что это число не остается постоянным вдоль длины следа, в противоположность тому, что имеет место в случае турбулентной струи. На достаточно больших расстояниях от тела становится настолько малым, что движение в следе перестает быть турбулентным. Дальше простирается область ламинарного следа, свойства которого были уже исследованы ранее.

5.2 Дозвуковое обтекание тонкого крыла. Формула Жуковского

Описанный в конце предыдущего параграфа характер распределения скоростей вокруг обтекаемого тела не относится к исключительным случаям, когда толщина образующегося за телом следа очень мала по сравнению с его шириной. Такой след образуется при обтекании тел, толщина которых (в направлении оси у) мала по сравнению с их шириной в направлении z (длина же в направлении обтекания – оси х, может быть произвольной), другими словами, речь идет об обтекании тел, поперечное (к направлению движения) сечение которых обладает сильно вытянутой в одном направлении формой. Сюда относятся, в частности, обтекания крыльев – тел, размах которых велик по сравнению со всеми остальными их размерами.

Ясно, что в таком случае нет никаких причин для того, чтобы перпендикулярная к плоскости турбулентного следа скорость wy заметно уменьшалась уже на расстояниях порядка толщины следа. Напротив, эта скорость будет теперь иметь одинаковый порядок величины как внутри следа, так и на значительных (порядка размаха крыла) расстояниях от него. При этом, конечно, предполагается, что подъемная сила отлична от нуля; в противном случае поперечная скорость практически вообще отсутствует.

Рассмотрим вертикальную подъемную силу Fy, развивающуюся при таком обтекании. Согласно формуле (5.1.2) она определяется интегралом

78

причем ввиду характера распределения скорости wy интегрирование должно производиться по всей поперечной плоскости. Более того, поскольку толщина следа (по оси у) мала, а скорость wy внутри него отнюдь не велика по сравнению с этой же скоростью вне следа, то в рассматриваемом случае можно с достаточной точностью ограничиться при интегрировании по dy интегрированием только по области вне следа, то есть написать:

где y1 и y2 – координаты границ следа (рис. 5.2.1).

где φ2 и φ1 – значения потенциала на обеих сторонах следа; можно сказать, что φ2 - φ1 есть скачок потенциала на поверхности разрыва, которой можно заменить тонкий след. Что же касается производных от φ, то производная w y=∂φ /∂ y должна оставаться непрерывной. Скачок нормальной к

поверхности следа компоненты скорости означал бы, что некоторое количество жидкости втекает в след; между тем, в приближении, в котором толщина следа пренебрегается, этот эффект должен отсутствовать. Таким образом, мы заменяем след поверхностью тангенциального разрыва. Далее, в этом же приближении на следе должно быть непрерывно также и давление. Поскольку изменение давления определяется согласно формуле Бернулли в первом приближении величиной ρ W wx=ρ W ∂φ /∂ x , от отсюда следует, что должна быть

величина, зависящая только от z, но не от координаты х вдоль длины следа. Таким образом, получаем для подъемной силы следующую формулу:

Интегрирование по dz распространяется фактически лишь по ширине следа (вне следа, конечно, φ2 - φ1 = 0). Эту формулу можно представить в несколько ином виде. Для этого замечаем, что по известным свойствам интегралов от градиента скаляра можно написать разность φ2 - φ1 в виде криволинейного интеграла

∫ φ d f =∫(w y dy+wx dx) ,

взятого по контуру, выходящему из точки y1, огибающему тело и приходящему в точку y2, проходя, таким образом, везде в области потенциального движения. Благодаря тонкости следа можно, не изменяя интеграла с точностью до малых величин высшего порядка, дополнить этот длинный контур коротким отрезком от y1 до y2, превратив его таким образом в замкнутый. Обозначая посредством Г циркуляцию скорости по замкнутому контуру С, охватывающему тело (рис. 5.2.1):

Знак циркуляции скорости выбирается всегда для обхода контура в направлении против часовой стрелки. Знак в формуле (5.2.5) связан также и с выбором направления обтекания: мы предполагали везде, что обтекание происходит в положительном направлении оси х (поток натекает слева направо).

Устанавливаемая формулой (5.2.5) связь подъемной силы с циркуляцией скорости составляет содержание теоремы Н. Е. Жуковского, 1906.

80

5.3 Обтекание решетки профилей газа

Под плоской решеткой профилей (рис. 5.3.1) понимают бесконечную совокупность периодично расположенных в плоскости одинаковых крыловых профилей, каждый из которых получается из смежного параллельным переносом на некоторую, называемую шагом, длину t в направлении, определяющем ось решетки. Угол β между хордой профиля и перпендикуляром к оси решетки иногда называют углом выноса, дополнительный угол β' – углом установки профиля. Вектор t , равный по длине шагу и направленный перпендикулярно к оси решетки в сторону течения, назовем вектором-шагом.

Выпуклая поверхность профиля называется спинкой, или стороной разрежения, вогнутая поверхность – стороной давления.

Рисунок 5.3.1. Плоская решетка из крыловых профилей

Вотличие от одиночного профиля, на бесконечном удалении впереди

ипозади решетки скорости в общем случае различны как по величине, так

ипо направлению. Решетка не только меняет скорость набегающего на нее потока, но и поворачивает поток.

81

Рисунок 5.3.2. Течение газа в решетке

Обозначим (рис. 5.3.2) вектор скорости потока в бесконечности перед

P2. Будем рассматривать дозвуковой поток, поэтому примем, что плотность повсюду одинакова и равна ρ.

Рассмотрим в плоскости рисунка трубку тока, образованную двумя какими-нибудь линиями тока, сдвинутыми друг по отношению к другу в направлении оси решетки на расстояние, равное шагу. Весь поток можно, очевидно, разбить на такие равные между собой трубки тока, так как обтекание обладает свойством периодичности с периодом, равным шагу.

Применим теорему количеств движения в форме Эйлера, взяв за контрольную поверхность боковую поверхность только что выделенной трубки тока и два бесконечно удаленных сечения трубки σ1, σ2, параллельные оси решетки и равные по длине шагу. Тогда, обозначая

секундные объемные расходы жидкости сквозь сечения трубки тока, а R

– есть главный вектор сил давления профиля на поток.

Предполагая поток безвихревым и применяя уравнение Бернулли, получим

P1−P2=12 ρ (W 22−W 12) ,

82

или, представляя разность квадратов скоростей как скалярное произведение суммы векторов скоростей на их разность,

P1−P2= 12 ρ (W 2−W 1)(W 2+W 1 ) .

Введем две характерные для обтекания решетки скорости: среднюю векторную скорость

W m= 12 (W 2 +W 1 ) ,

и скорость девиации потока

W d =W 2−W 1 ,

характеризующую отклонение потока решеткой. Тогда будем иметь

P1−P2=ρ W m W d ,

Равенство (5.3.1) перепишем в форме

R=ρ t (W m W d )−ρ ( t W m)W d .

Выражение, стоящее справа, представляет собой разложение двойного векторного произведения, так что окончательно получим