Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ИТАЭ ТФ-10 9 семестр / Газодинамика / Конспект лекций.pdf
Скачиваний:
265
Добавлен:
30.12.2018
Размер:
1.35 Mб
Скачать

 

 

 

 

 

77

u(

F W

)

1

,

(5.1.8)

3

 

 

ρ x2

 

 

то есть средняя скорость движения жидкости внутри следа падает обратно пропорционально x2/3 .

Движение жидкости в каждом участке длины следа характеризуется числом Рейнольдса Re~ aw/ν. Подставляя (5.1.7 ) и (5.1.8), получаем:

F

 

1

 

F

2

1

.

 

(

 

)

3

ν ρ W a

ν

ρ 2 W x

 

 

 

 

 

 

Мы видим, что это число не остается постоянным вдоль длины следа, в противоположность тому, что имеет место в случае турбулентной струи. На достаточно больших расстояниях от тела становится настолько малым, что движение в следе перестает быть турбулентным. Дальше простирается область ламинарного следа, свойства которого были уже исследованы ранее.

5.2 Дозвуковое обтекание тонкого крыла. Формула Жуковского

Описанный в конце предыдущего параграфа характер распределения скоростей вокруг обтекаемого тела не относится к исключительным случаям, когда толщина образующегося за телом следа очень мала по сравнению с его шириной. Такой след образуется при обтекании тел, толщина которых (в направлении оси у) мала по сравнению с их шириной в направлении z (длина же в направлении обтекания – оси х, может быть произвольной), другими словами, речь идет об обтекании тел, поперечное (к направлению движения) сечение которых обладает сильно вытянутой в одном направлении формой. Сюда относятся, в частности, обтекания крыльев – тел, размах которых велик по сравнению со всеми остальными их размерами.

Ясно, что в таком случае нет никаких причин для того, чтобы перпендикулярная к плоскости турбулентного следа скорость wy заметно уменьшалась уже на расстояниях порядка толщины следа. Напротив, эта скорость будет теперь иметь одинаковый порядок величины как внутри следа, так и на значительных (порядка размаха крыла) расстояниях от него. При этом, конечно, предполагается, что подъемная сила отлична от нуля; в противном случае поперечная скорость практически вообще отсутствует.

Рассмотрим вертикальную подъемную силу Fy, развивающуюся при таком обтекании. Согласно формуле (5.1.2) она определяется интегралом

78

F y=−ρ W w y dy dz ,

(5.2.1)

причем ввиду характера распределения скорости wy интегрирование должно производиться по всей поперечной плоскости. Более того, поскольку толщина следа (по оси у) мала, а скорость wy внутри него отнюдь не велика по сравнению с этой же скоростью вне следа, то в рассматриваемом случае можно с достаточной точностью ограничиться при интегрировании по dy интегрированием только по области вне следа, то есть написать:

+∞

+∞

y2

w y dyw y dy+wy dy ,

−∞

y1

−∞

где y1 и y2 – координаты границ следа (рис. 5.2.1).

Рисунок 5.2.1. Обтекание крылового профиля

 

Но вне следа движение потенциально и

w y=∂φ /∂ y , имея в виду,

что на бесконечности φ = 0, получаем поэтому

 

w y dy=φ 2φ 1 ,

(5.2.2)

где φ2 и φ1 – значения потенциала на обеих сторонах следа; можно сказать, что φ2 - φ1 есть скачок потенциала на поверхности разрыва, которой можно заменить тонкий след. Что же касается производных от φ, то производная w y=∂φ /∂ y должна оставаться непрерывной. Скачок нормальной к

поверхности следа компоненты скорости означал бы, что некоторое количество жидкости втекает в след; между тем, в приближении, в котором толщина следа пренебрегается, этот эффект должен отсутствовать. Таким образом, мы заменяем след поверхностью тангенциального разрыва. Далее, в этом же приближении на следе должно быть непрерывно также и давление. Поскольку изменение давления определяется согласно формуле Бернулли в первом приближении величиной ρ W wx=ρ W φ /∂ x , от отсюда следует, что должна быть

 

79

 

 

непрерывна

и производная φ /∂ x .

Производная же

φ /∂ z

скорость в направлении размаха крыла

– испытывает, вообще говоря,

скачок.

 

 

 

Ввиду

непрерывности производной

φ /∂ x скачок

φ2 - φ1 есть

величина, зависящая только от z, но не от координаты х вдоль длины следа. Таким образом, получаем для подъемной силы следующую формулу:

F y=−ρ W (φ 2φ1)dz .

(5.2.3)

Интегрирование по dz распространяется фактически лишь по ширине следа (вне следа, конечно, φ2 - φ1 = 0). Эту формулу можно представить в несколько ином виде. Для этого замечаем, что по известным свойствам интегралов от градиента скаляра можно написать разность φ2 - φ1 в виде криволинейного интеграла

φ d f =(w y dy+wx dx) ,

взятого по контуру, выходящему из точки y1, огибающему тело и приходящему в точку y2, проходя, таким образом, везде в области потенциального движения. Благодаря тонкости следа можно, не изменяя интеграла с точностью до малых величин высшего порядка, дополнить этот длинный контур коротким отрезком от y1 до y2, превратив его таким образом в замкнутый. Обозначая посредством Г циркуляцию скорости по замкнутому контуру С, охватывающему тело (рис. 5.2.1):

 

,

(5.2.4)

Γ = w d l =φ 2φ 1

получаем для подъемной силы формулу

 

F y=−ρ W Γ dz .

 

(5.2.5)

Знак циркуляции скорости выбирается всегда для обхода контура в направлении против часовой стрелки. Знак в формуле (5.2.5) связан также и с выбором направления обтекания: мы предполагали везде, что обтекание происходит в положительном направлении оси х (поток натекает слева направо).

Устанавливаемая формулой (5.2.5) связь подъемной силы с циркуляцией скорости составляет содержание теоремы Н. Е. Жуковского, 1906.

80

5.3 Обтекание решетки профилей газа

Под плоской решеткой профилей (рис. 5.3.1) понимают бесконечную совокупность периодично расположенных в плоскости одинаковых крыловых профилей, каждый из которых получается из смежного параллельным переносом на некоторую, называемую шагом, длину t в направлении, определяющем ось решетки. Угол β между хордой профиля и перпендикуляром к оси решетки иногда называют углом выноса, дополнительный угол β' – углом установки профиля. Вектор t , равный по длине шагу и направленный перпендикулярно к оси решетки в сторону течения, назовем вектором-шагом.

Выпуклая поверхность профиля называется спинкой, или стороной разрежения, вогнутая поверхность – стороной давления.

Рисунок 5.3.1. Плоская решетка из крыловых профилей

Вотличие от одиночного профиля, на бесконечном удалении впереди

ипозади решетки скорости в общем случае различны как по величине, так

ипо направлению. Решетка не только меняет скорость набегающего на нее потока, но и поворачивает поток.

81

Рисунок 5.3.2. Течение газа в решетке

Обозначим (рис. 5.3.2) вектор скорости потока в бесконечности перед

 

, давление – через P1 и соответственно

вектор

решеткой через W 1

скорости и давление в бесконечном удалении за решеткой – через

 

и

W 2

P2. Будем рассматривать дозвуковой поток, поэтому примем, что плотность повсюду одинакова и равна ρ.

Рассмотрим в плоскости рисунка трубку тока, образованную двумя какими-нибудь линиями тока, сдвинутыми друг по отношению к другу в направлении оси решетки на расстояние, равное шагу. Весь поток можно, очевидно, разбить на такие равные между собой трубки тока, так как обтекание обладает свойством периодичности с периодом, равным шагу.

Применим теорему количеств движения в форме Эйлера, взяв за контрольную поверхность боковую поверхность только что выделенной трубки тока и два бесконечно удаленных сечения трубки σ1, σ2, параллельные оси решетки и равные по длине шагу. Тогда, обозначая

через R главный вектор сил давления потока на профиль, будем иметь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.3.1)

(P1P2 ) t +ρ ( t W 1)W 1ρ ( t W

2)W

2R=0 .

Величины

 

 

представляют собой

равные между собой

t W

1=t W 2

секундные объемные расходы жидкости сквозь сечения трубки тока, а R

– есть главный вектор сил давления профиля на поток.

Предполагая поток безвихревым и применяя уравнение Бернулли, получим

P1P2=12 ρ (W 22W 12) ,

82

или, представляя разность квадратов скоростей как скалярное произведение суммы векторов скоростей на их разность,

P1P2= 12 ρ (W 2W 1)(W 2+W 1 ) .

Введем две характерные для обтекания решетки скорости: среднюю векторную скорость

W m= 12 (W 2 +W 1 ) ,

и скорость девиации потока

W d =W 2W 1 ,

характеризующую отклонение потока решеткой. Тогда будем иметь

P1P2=ρ W m W d ,

 

 

 

(5.3.2)

t W

1=t W

2=t W m ; t W d =0 .

Равенство (5.3.1) перепишем в форме

R=ρ t (W m W d )−ρ ( t W m)W d .

Выражение, стоящее справа, представляет собой разложение двойного векторного произведения, так что окончательно получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.3.3)

R=ρ W m×( t ×W d ) .

 

 

 

 

Замечая,

что по

(5.3.2)

вектор-шаг

t

перпендикулярен к скорости

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

девиации потока

 

W d

 

 

перпендикулярен к плоскости

 

, а вектор t

×W d

течения, то есть и

 

, найдем величину главного вектора в виде

W m

R=ρ W m t W d .

 

 

 

 

 

 

(5.3.4)

 

Векторное равенство (5.3.3) дает в явной форме зависимость главного

вектора

R от плотности жидкости, шага t решетки и двух характерных

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

потока.

скоростей – средней W m

и скорости девиации W d