
- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •ВВЕДЕНИЕ
- •РАЗДЕЛ 1. УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ДЛЯ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ СТРУЙКИ – ПОВТОРЕНИЕ ПРОЙДЕННОГО
- •1.1 Используемый математический аппарат
- •1.2 Уравнение неразрывности
- •1.3 Уравнение количества движения
- •1.4 Уравнение энергии
- •1.5 Предельная скорость движения газа. Число Маха и коэффициент скорости
- •РАЗДЕЛ 2. ОДНОМЕРНЫЕ ГАЗОВЫЕ ПОТОКИ
- •2.1 Звуковые волны. Скорость звука. Излучение звука
- •2.2 Волны конечной интенсивности. Инварианты Римана. Характеристики
- •2.3 Механизм образования скачков уплотнения
- •2.4 Прямые скачки уплотнения. Ударная адиабата
- •2.5 Скорость распространения ударной волны и спутного потока за ней
- •2.6 Элементарная теория ударной трубы
- •2.7 Косые скачки уплотнения
- •2.8 Теория мелкой воды
- •2.9 Волны горения и детонации в газах
- •2.10 Общие условия перехода от дозвукового течения к сверхзвуковому
- •РАЗДЕЛ 3. ПЛОСКИЕ ТЕЧЕНИЯ НЕВЯЗКОГО ГАЗА
- •3.1 Общие уравнения
- •3.2 Метод малых возмущений
- •3.3 Дозвуковые течения при малых возмущениях
- •3.5 Обтекание малого угла сверхзвуковым потоком
- •3.6 Обтекание тонкого профиля сверхзвуковым потоком газа
- •3.7 Волны разрежения. Центрированные волны
- •3.8 Общая задача о двумерном стационарном движении газа. Уравнение Чаплыгина
- •РАЗДЕЛ 4. ТЕЧЕНИЕ ГАЗА В СОПЛАХ И ДИФФУЗОРАХ
- •4.1 Формы сопел. Простейшая теория сопла. Истечение сверхзвуковой газовой струи из сопла на нерасчетном режиме
- •4.2 Дозвуковые и сверхзвуковые диффузоры
- •РАЗДЕЛ 5. ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА ЭЛЕМЕНТОВ ТУРБОМАШИН
- •5.1 Обтекание конечных тел. Ламинарный и турбулентный след
- •5.2 Дозвуковое обтекание тонкого крыла. Формула Жуковского
- •5.3 Обтекание решетки профилей газа
- •5.4 Простейший расчет ступени лопаточной турбомашины
- •ЛИТЕРАТУРА
- •ПРИЛОЖЕНИЯ. ЗАДАЧИ, РЕШАЕМЫЕ НА СЕМИНАРАХ И В РАСЧЕТНОМ ЗАДАНИИ
- •П1. Гидравлическое сопротивление трубы при ее внезапном расширении
- •П2. Расчет простейшего эжектора
- •П3. Пример расчета аэродинамического нагрева
- •П4. Гидравлический удар при внезапной остановке потока жидкости
- •П5. Трубка Пито при сверхзвуковом движении газа
- •П6. Прямоточный воздушно-реактивный двигатель (ПВРД)
- •П.7. Одномерное стационарное течение газа по трубе постоянного сечения с подогревом
- •П.8. Адиабатическое течение газа с трением в трубе постоянного сечения
- •П.9. Варианты расчетного задания по курсу "Техническая газодинамика"
- •Вариант 1. Крыловой профиль в гиперзвуковом потоке
- •Вариант 2. Ракета А-4
- •Вариант 3. Снаряд
|
|
|
|
|
77 |
|
u( |
F W |
) |
1 |
, |
(5.1.8) |
|
3 |
||||||
|
||||||
|
ρ x2 |
|
|
то есть средняя скорость движения жидкости внутри следа падает обратно пропорционально x2/3 .
Движение жидкости в каждом участке длины следа характеризуется числом Рейнольдса Re~ aw/ν. Подставляя (5.1.7 ) и (5.1.8), получаем:
Rе |
F |
|
1 |
|
F |
2 |
1 |
. |
||
|
( |
|
) |
3 |
||||||
ν ρ W a |
ν |
ρ 2 W x |
||||||||
|
|
|
|
|
|
Мы видим, что это число не остается постоянным вдоль длины следа, в противоположность тому, что имеет место в случае турбулентной струи. На достаточно больших расстояниях от тела становится настолько малым, что движение в следе перестает быть турбулентным. Дальше простирается область ламинарного следа, свойства которого были уже исследованы ранее.
5.2 Дозвуковое обтекание тонкого крыла. Формула Жуковского
Описанный в конце предыдущего параграфа характер распределения скоростей вокруг обтекаемого тела не относится к исключительным случаям, когда толщина образующегося за телом следа очень мала по сравнению с его шириной. Такой след образуется при обтекании тел, толщина которых (в направлении оси у) мала по сравнению с их шириной в направлении z (длина же в направлении обтекания – оси х, может быть произвольной), другими словами, речь идет об обтекании тел, поперечное (к направлению движения) сечение которых обладает сильно вытянутой в одном направлении формой. Сюда относятся, в частности, обтекания крыльев – тел, размах которых велик по сравнению со всеми остальными их размерами.
Ясно, что в таком случае нет никаких причин для того, чтобы перпендикулярная к плоскости турбулентного следа скорость wy заметно уменьшалась уже на расстояниях порядка толщины следа. Напротив, эта скорость будет теперь иметь одинаковый порядок величины как внутри следа, так и на значительных (порядка размаха крыла) расстояниях от него. При этом, конечно, предполагается, что подъемная сила отлична от нуля; в противном случае поперечная скорость практически вообще отсутствует.
Рассмотрим вертикальную подъемную силу Fy, развивающуюся при таком обтекании. Согласно формуле (5.1.2) она определяется интегралом

78
F y=−ρ W w y dy dz , |
(5.2.1) |
причем ввиду характера распределения скорости wy интегрирование должно производиться по всей поперечной плоскости. Более того, поскольку толщина следа (по оси у) мала, а скорость wy внутри него отнюдь не велика по сравнению с этой же скоростью вне следа, то в рассматриваемом случае можно с достаточной точностью ограничиться при интегрировании по dy интегрированием только по области вне следа, то есть написать:
+∞ |
+∞ |
y2 |
∫ w y dy≈∫ w y dy+∫ wy dy , |
||
−∞ |
y1 |
−∞ |
где y1 и y2 – координаты границ следа (рис. 5.2.1).
Рисунок 5.2.1. Обтекание крылового профиля |
|
Но вне следа движение потенциально и |
w y=∂φ /∂ y , имея в виду, |
что на бесконечности φ = 0, получаем поэтому |
|
∫w y dy=φ 2−φ 1 , |
(5.2.2) |
где φ2 и φ1 – значения потенциала на обеих сторонах следа; можно сказать, что φ2 - φ1 есть скачок потенциала на поверхности разрыва, которой можно заменить тонкий след. Что же касается производных от φ, то производная w y=∂φ /∂ y должна оставаться непрерывной. Скачок нормальной к
поверхности следа компоненты скорости означал бы, что некоторое количество жидкости втекает в след; между тем, в приближении, в котором толщина следа пренебрегается, этот эффект должен отсутствовать. Таким образом, мы заменяем след поверхностью тангенциального разрыва. Далее, в этом же приближении на следе должно быть непрерывно также и давление. Поскольку изменение давления определяется согласно формуле Бернулли в первом приближении величиной ρ W wx=ρ W ∂φ /∂ x , от отсюда следует, что должна быть
|
79 |
|
|
непрерывна |
и производная ∂φ /∂ x . |
Производная же |
∂φ /∂ z — |
скорость в направлении размаха крыла |
– испытывает, вообще говоря, |
||
скачок. |
|
|
|
Ввиду |
непрерывности производной |
∂φ /∂ x скачок |
φ2 - φ1 есть |
величина, зависящая только от z, но не от координаты х вдоль длины следа. Таким образом, получаем для подъемной силы следующую формулу:
F y=−ρ W ∫(φ 2−φ1)dz . |
(5.2.3) |
Интегрирование по dz распространяется фактически лишь по ширине следа (вне следа, конечно, φ2 - φ1 = 0). Эту формулу можно представить в несколько ином виде. Для этого замечаем, что по известным свойствам интегралов от градиента скаляра можно написать разность φ2 - φ1 в виде криволинейного интеграла
∫ φ d f =∫(w y dy+wx dx) ,
взятого по контуру, выходящему из точки y1, огибающему тело и приходящему в точку y2, проходя, таким образом, везде в области потенциального движения. Благодаря тонкости следа можно, не изменяя интеграла с точностью до малых величин высшего порядка, дополнить этот длинный контур коротким отрезком от y1 до y2, превратив его таким образом в замкнутый. Обозначая посредством Г циркуляцию скорости по замкнутому контуру С, охватывающему тело (рис. 5.2.1):
|
, |
(5.2.4) |
Γ = w d l =φ 2−φ 1 |
||
получаем для подъемной силы формулу |
|
|
F y=−ρ W ∫Γ dz . |
|
(5.2.5) |
Знак циркуляции скорости выбирается всегда для обхода контура в направлении против часовой стрелки. Знак в формуле (5.2.5) связан также и с выбором направления обтекания: мы предполагали везде, что обтекание происходит в положительном направлении оси х (поток натекает слева направо).
Устанавливаемая формулой (5.2.5) связь подъемной силы с циркуляцией скорости составляет содержание теоремы Н. Е. Жуковского, 1906.

80
5.3 Обтекание решетки профилей газа
Под плоской решеткой профилей (рис. 5.3.1) понимают бесконечную совокупность периодично расположенных в плоскости одинаковых крыловых профилей, каждый из которых получается из смежного параллельным переносом на некоторую, называемую шагом, длину t в направлении, определяющем ось решетки. Угол β между хордой профиля и перпендикуляром к оси решетки иногда называют углом выноса, дополнительный угол β' – углом установки профиля. Вектор t , равный по длине шагу и направленный перпендикулярно к оси решетки в сторону течения, назовем вектором-шагом.
Выпуклая поверхность профиля называется спинкой, или стороной разрежения, вогнутая поверхность – стороной давления.
Рисунок 5.3.1. Плоская решетка из крыловых профилей
Вотличие от одиночного профиля, на бесконечном удалении впереди
ипозади решетки скорости в общем случае различны как по величине, так
ипо направлению. Решетка не только меняет скорость набегающего на нее потока, но и поворачивает поток.

81
Рисунок 5.3.2. Течение газа в решетке
Обозначим (рис. 5.3.2) вектор скорости потока в бесконечности перед
|
, давление – через P1 и соответственно |
вектор |
|
решеткой через W 1 |
|||
скорости и давление в бесконечном удалении за решеткой – через |
|
и |
|
W 2 |
P2. Будем рассматривать дозвуковой поток, поэтому примем, что плотность повсюду одинакова и равна ρ.
Рассмотрим в плоскости рисунка трубку тока, образованную двумя какими-нибудь линиями тока, сдвинутыми друг по отношению к другу в направлении оси решетки на расстояние, равное шагу. Весь поток можно, очевидно, разбить на такие равные между собой трубки тока, так как обтекание обладает свойством периодичности с периодом, равным шагу.
Применим теорему количеств движения в форме Эйлера, взяв за контрольную поверхность боковую поверхность только что выделенной трубки тока и два бесконечно удаленных сечения трубки σ1, σ2, параллельные оси решетки и равные по длине шагу. Тогда, обозначая
через R главный вектор сил давления потока на профиль, будем иметь |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.3.1) |
(P1−P2 ) t +ρ ( t W 1)W 1−ρ ( t W |
2)W |
2−R=0 . |
||||
Величины |
|
|
представляют собой |
равные между собой |
||
t W |
1=t W 2 |
секундные объемные расходы жидкости сквозь сечения трубки тока, а R
– есть главный вектор сил давления профиля на поток.
Предполагая поток безвихревым и применяя уравнение Бернулли, получим
P1−P2=12 ρ (W 22−W 12) ,

82
или, представляя разность квадратов скоростей как скалярное произведение суммы векторов скоростей на их разность,
P1−P2= 12 ρ (W 2−W 1)(W 2+W 1 ) .
Введем две характерные для обтекания решетки скорости: среднюю векторную скорость
W m= 12 (W 2 +W 1 ) ,
и скорость девиации потока
W d =W 2−W 1 ,
характеризующую отклонение потока решеткой. Тогда будем иметь
P1−P2=ρ W m W d ,
|
|
|
(5.3.2) |
t W |
1=t W |
2=t W m ; t W d =0 . |
Равенство (5.3.1) перепишем в форме
R=ρ t (W m W d )−ρ ( t W m)W d .
Выражение, стоящее справа, представляет собой разложение двойного векторного произведения, так что окончательно получим
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.3.3) |
R=ρ W m×( t ×W d ) . |
|
|
|
|
|||||
Замечая, |
что по |
(5.3.2) |
вектор-шаг |
t |
перпендикулярен к скорости |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
девиации потока |
|
W d |
|
|
перпендикулярен к плоскости |
||||
|
, а вектор t |
×W d |
|||||||
течения, то есть и |
|
, найдем величину главного вектора в виде |
|||||||
W m |
|||||||||
R=ρ W m t W d . |
|
|
|
|
|
|
(5.3.4) |
||
|
Векторное равенство (5.3.3) дает в явной форме зависимость главного |
||||||||
вектора |
R от плотности жидкости, шага t решетки и двух характерных |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
потока. |
скоростей – средней W m |
и скорости девиации W d |