72

РАЗДЕЛ 5. ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА ЭЛЕМЕНТОВ ТУРБОМАШИН

5.1 Обтекание конечных тел. Ламинарный и турбулентный след

При стационарном обтекании твердого тела вязкой жидкостью движение жидкости на больших расстояниях позади тела обладает своеобразным характером, который может быть исследован в общем виде вне зависимости от формы тела.

Обозначим через W постоянную скорость натекающего на тело потока жидкости (направление W выберем в качестве оси x с началом гделибо внутри обтекаемого тела). Истинную же скорость жидкости в каждой точке будем писать в виде W +w ; на бесконечности w обращается в нуль.

Оказывается, что на больших расстояниях позади тела скорость w заметно отлична от нуля лишь в сравнительно узкой области вокруг оси х. В эту область, называемую ламинарным следом), попадают частицы жидкости, движущиеся вдоль линий тока, проходящих мимо обтекаемого тела на сравнительно небольших расстояниях от него. Поэтому движение жидкости в следе существенно завихрено. Дело в том, что источником завихренности при обтекании твердого тела вязкой жидкостью является именно его поверхность).

На линиях же тока, проходящих достаточно далеко от тела, влияние вязкости незначительно на всем их протяжении, и потому ротор скорости на них (равный нулю в натекающем из бесконечности потоке) остается практически равным нулю, как это было бы в идеальной жидкости. Таким образом, на больших расстояниях от тела движение жидкости можно считать потенциальным везде, за исключением лишь области следа.

Выведем формулы, связывающие свойства движения жидкости в следе с действующими на обтекаемое тело силами.

Полный поток импульса, переносимого жидкостью через какуюнибудь замкнутую поверхность, охватывающую собой обтекаемое тело, равен взятому по этой поверхности интегралу от тензора потока импульса

Π ik d f k . Компоненты тензора Π ik равны:

73

поскольку полное количество жидкости в рассматриваемом объеме остается неизменным, полный поток жидкости через охватывающую его поверхность должен исчезать. Наконец, вдали от тела скорость w мала по сравнению с W. Поэтому если рассматриваемая поверхность расположена

Выберем теперь в качестве рассматриваемого объема жидкости объем между двумя бесконечными плоскостями х = const, которых одна взята достаточно далеко впереди, а другая — позади тела. При определении полного потока импульса интеграл по бесконечно удаленной «боковой» поверхности исчезает (так как на бесконечности р' = 0, w = 0), и поэтому достаточно интегрировать только по обеим поперечным плоскостям. Получающийся таким образом поток импульса представляет собой, очевидно, разность между полным потоком импульса, втекающим через переднее, и потоком, вытекающим через заднее сечение. Но эта разность является в то же время количеством импульса, передаваемым в единицу времени от жидкости к телу, то есть с силой F , действующей на обтекаемое тело. Таким образом, компоненты этой силы равны разностям

Здесь интегрирование производится по бесконечным плоскостям x= x1 (значительно позади) и х = x2 (значительно впереди тела). Рассмотрим сначала первую из этих величин.

Вне следа движение потенциально, и потому справедливо уравнение Бернулли

74

p' =−ρ W wx .

Мы видим, что в этом приближении подынтегральное выражение в Fx обращается в нуль во всей области вне следа. Другими словами, интеграл по плоскости х = х2 (проходящей впереди тела и не пересекающей след вовсе) исчезает полностью, а в интеграле по задней плоскости х = х1 надо интегрировать лишь по площади сечения следа. Но внутри следа

результату, что сила сопротивления, действующая на тело в направлении обтекания, равна

Здесь интегрирование производится по площади поперечного сечения следа вдали от тела. Скорость wx в следе, разумеется, отрицательна – жидкость движется здесь медленнее, чем она двигалась бы при отсутствии тела. Обратим внимание на то, что стоящий (5.1.1) интеграл определяет «дефицит» расхода жидкости через сечение следа по сравнению с расходом при отсутствии тела.

Рассмотрим теперь силу (с компонентами Fy, Fz), стремящуюся сдвинуть тело в поперечном направлении. Эта сила называется подъемной. Вне следа, где движение потенциально, можно написать w y=∂φ /∂ y ,

w z=∂φ /∂ z ; интеграл по проходящей везде вне следа плоскости х = х2 обращается в нуль:

∫w y dy dz=∫ ∂∂φy dy dz=0 , ∫wz dy dz=∫ ∂∂φz dy dz=0 ,

поскольку на бесконечности φ = 0. Таким образом, для подъемной силы получаем выражение

Интегрирование в этих формулах фактически тоже производится лишь по площади сечения следа. Если обтекаемое тело обладает осью симметрии (не обязательно полной аксиальной симметрии) и обтекание происходит вдоль направления этой оси, то осью симметрии обладает и движение жидкости вокруг тела. В этом случае подъемная сила, очевидно, отсутствует.

75

Вернемся снова к движению жидкости в следе. Оценка различных членов в уравнении Навье – Стокса показывает, что членом νΔw можно, вообще говоря, пренебречь на расстояниях r от тела, удовлетворяющих условию rW/ν >> 1 ; это и есть те расстояния, на которых движение жидкости (вне следа) можно считать потенциальным. Однако такое пренебрежение недопустимо даже на этих расстояниях в области внутри

Эта величина действительно мала по сравнению с х ввиду предположенного условия Ux/ν > 1. Таким образом, ширина ламинарного следа растет пропорционально корню из расстояния до тела.

Чтобы определить закон убывания скорости в следе, обратимся к формуле (5.1.1). Область интегрирования в ней ~Y2 . Поэтому оценка

интеграла дает F x ρ W w Y 2 и, использовав соотношение (5.1.3), получим искомый закон:

При числах Рейнольдса, значительно превышающих критическое значение, при обтекании твердого тела потоком жидкости позади тела образуется длинная область турбулентного движения. Эту область называют турбулентным следом. На больших (по сравнению с размерами тела) расстояниях простые соображения позволяют определить форму следа и закон убывания скорости жидкости в нем (L. Prandtl, 1926).

Как и при исследовании ламинарного следа, обозначим посредством W скорость натекающего на тело потока и выберем ее направление в качестве оси х. Усредненную же по турбулентным пульсациям скорость жидкости в каждой точке будем писать в виде W +w . Обозначив посредством а некоторую перечную ширину следа, мы определим

76

зависимость а от х. Если при обтекании тела подъемная сила отсутствует, то на больших расстояниях от тела след обладает аксиальной симметрией и имеет круговое сечение; величиной а может являться в этом случае радиус следа. Наличие же подъемной силы приводит к появлению некоторого избранного направления в плоскости у, z, и след уже не будет обладать аксиальной симметрией ни на каких расстояниях от тела.

Продольная компонента скорости жидкости в следе ~ W, а поперечная

– порядка некоторого среднего значения w турбулентной скорости. Поэтому угол между линиями тока и осью х – порядка величины отношения w/W. С другой стороны, граница следа является, как мы знаем, границей, за которую не выходят линии тока вихревого турбулентного движения. Отсюда следует, что угол наклона линии контура продольного сечения следа к оси х – тоже порядка величины w/W. Это значит, что

мы можем написать:

Далее, воспользуемся формулами (5.1.2), определяющими действующие на тело силы через интегралы от скорости жидкости в следе (причем под скоростью подразумевается теперь ее усредненное значение). В этих интегралах область интегрирования ~ a2 .Поэтому оценка интеграла приводит к соотношению F ~ ρ W w a2 , где F – порядок величины силы сопротивления или подъемной силы. Таким образом:

Таким образом, ширина следа растет пропорционально кубическому корню из расстояния от тела. Для скорости w имеем из (5.1.5) и (5.1.6):