53
Рисунок 3.6.2. Обтекание сверхзвуковым потоком тонкой пластины
Таким образом давление над пластиной меньше, чем давление под пластиной. В результате возникает как подъемная сила, так и сила сопротивления. Соответствующий коэффициент подъемной силы равен
c y= |
4α |
|
√M 12−1 . |
(3.6.5) |
Данный результат справедлив для любого достаточно тонкого профиля при обтекании его сверхзвуковым потоком.
3.7 Волны разрежения. Центрированные волны
Рассмотрим задачу о течении баротропного газа вдоль плоской стенки канала, когда при повороте стенки угол поворота не является малым. Если канал сужается (Θ > 0), то образуется косая ударная волна, описанная в п. 2.7, рис. 2.7.1. Рассмотрим теперь случай расширения канала (Θ < 0) (L. Prandtl, Th. Meyer, 1908), рис. 3.7.1.
54
Рисунок 3.7.1. Течение сверхзвукового потока вдоль стенки
Данную задачу удобно рассматривать в цилиндрических координатах. Центр координат расположим в точке О, в которой канал претерпевает излом. В общем случае все параметры потока зависят от r – расстояния до точки O, и от полярного угла φ. Вектор скорости потока также
раскладывается на две компоненты |
|
W =(W r ,W φ) . |
Докажем, что вблизи точки О все параметры потока зависят лишь от полярного угла φ. Это утверждение можно обосновать тем, что любой угол при ближайшем рассмотрении можно заменить ломаной линией, как показано на рис. 3.7.1б. Картина обтекания ломаной является, как уже отмечено в п. 3.6, суперпозицией малых поворотов потока при пересечении им характеристик 1-го рода ОС, рис. 3.5.1. Последние являются лучами, исходящими из точек Oi излома стенки канала, направленными под местным углом Маха по отношению к местному же вектору скорости потока. Вдоль каждого из этих лучей характеристики потока постоянны. Отсюда можно заключить, что когда точки излома сливаются в одну, все параметры потока постоянны вдоль лучей, выходящих из точки O излома стенки. Эти лучи заполняют сектор DOE, в котором происходит изменение параметров потока при его развороте вдоль нового направления стенки канала.
Таким образом параметры потока не зависят от от расстояния до точки O, а определяются направлением соответствующего луча, то есть полярным углом φ.
Уравнения сохранения импульса (в данном случае – уравнения Эйлера), описывающие движение идеального газа в окрестности точки О для r и φ компонент соответственно имеют вид
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
55 |
|
|
W |
φ |
|
d W |
r |
|
W |
2 |
=0 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
− |
|
|
φ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
r |
|
|
d φ |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
W φ d W φ |
+ |
W r W φ |
=− |
1 dP |
=− |
1 dh |
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
r d φ |
|
|
|
r |
r ρ d φ |
r d φ |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Здесь h – энтальпия, для изоэнтропного процесса Из (3.7.1) следует, что
ddWφ r =W φ .
(3.7.1)
(3.7.2)
dh |
|
1 dP |
|||
|
= |
|
|
|
. |
d φ |
ρ |
d φ |
|||
(3.7.3)
Подставляя в (3.7.2) получаем, как и следовало бы ожидать, что полная энтальпия потока сохраняется,
|
|
d W φ |
|
d W r |
|
|
|
|
|
dh |
|
|
|
|
|
W r2+W φ2 |
|
. |
(3.7.4) |
||||||||
W φ d φ +W r |
d φ =−d φ |
|
|
h+ |
2 |
|
=h0=const |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Уравнение неразрывности (1.2.2) для стационарного потока имеет вид |
|||||||||||||||||||||||||||
ρ W |
+ d (ρ W φ )=ρ W |
+ρ d (W φ ) |
+W |
|
d (ρ )=0 . |
|
(3.7.5) |
||||||||||||||||||||
|
|
r |
|
|
|
|
d φ |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
d φ |
|
|
φ |
d φ |
|
|
||
Из (3.7.2) следует, что сумма двух первых членов в (3.7.5) равна |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
d W φ |
+W r=− |
1 |
|
|
dP |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
d φ |
|
ρ W φ |
|
d φ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Последний член (3.7.5) может быть представлен как |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
W φ |
d (ρ ) |
=W φ |
d ρ |
|
d P |
|
W φ d P , |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
( d P ) d φ |
|
= |
|
d φ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
d φ |
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
в результате соотношение (3.7.5) может быть окончательно записано в виде
(− |
1 dP |
)(1− |
W φ |
2 |
)=0 . |
(3.7.6) |
||
|
|
|
|
|
||||
ρ W φ d φ |
a2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
||||
56
Имеются два решения данного уравнения.
Первому решению соответствует обращение в ноль первой скобки в
выражении (3.7.6), то есть |
dP |
=0 |
. Это означает, что для газа, который |
|
d φ |
||||
|
|
|
проходит точку излома O на рис. 3.7.1, давление остается постоянным, P = const, а значит и плотность ρ = const, и также и энтальпия h = const. Как следует из (3.7.4), в таком случае модуль скорости потока также постоянен
W 2r +W φ2 =const . Из этого следует заключить, что параметры потока не
меняются после прохождения точки излома, то есть он продолжает свое равномерное и прямолинейное движение вдоль своего первоначального направления AOC. Это соответствует отрыву потока от стенки в точке излома O. Непосредственно же за изломом стенки в области COB газ покоится. Полученное решение соответствует образованию так называемого контактного разрыва вдоль луча OC. Данное решение может реализоваться только в случае, если давление в среде за точкой излома соответствует давлению P1 в потоке.
Второму решению соответствует обращение в ноль второй скобки в выражении (3.7.6), то есть необходимо, чтобы всюду в области DOE, где происходит поворот потока, Wφ компонента вектора скорости потока равна по модулю местной скорости звука a,
W φ =±a . |
(3.7.7) |
||
Соответственно, как следует из (3.7.4), |
|
||
W r=±√ |
|
. |
(3.7.8) |
2(h0−h)−a2 |
|||
Направление отсчета угла φ выберем по часовой стрелке, чтобы в (3.7.7) был знак «плюс». Чтобы определить характер зависимости параметров потока от угла φ используем уравнение неразрывности (3.7.5), которое запишем в виде
d φ = |
d (ρ W φ ) . |
(3.7.9) |
|||
|
ρ W r |
|
|
|
|
Интегрируя, получаем |
|
||||
φ = |
|
d (ρ W φ ) . |
(3.7.10) |
||
|
ρ W r |
|
|
||
∫ |
|
|
|||
57
Учитывая, что для политропного газа h= |
|
|
a2 |
|
, а при адиабатическом |
|||||||||||
|
k−1 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
расширении |
|
|
|
|
k −1 , |
подынтегральное |
выражение в (3.7.10) |
|||||||||
|
ρ =const a |
|||||||||||||||
представим в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
d a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
k +1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.7.11) |
|||||
φ =√k −1∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
acrit2 −a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Здесь критическая скорость звука |
acrit2 = |
2 a2 |
|
. |
|
|||||||||||
0 |
|
|||||||||||||||
k+1 |
|
|||||||||||||||
Взяв интеграл в правой части (3.7.11) получаем |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
φ =√k −1 arccos( |
|
)+const . |
|
|
|
|
|
|
(3.7.12) |
|||||||
acrit |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Выбрав начало отсчета так, чтобы константа интегрирования обратилась в ноль (на рис. 3.7.1 началу отсчета соответствует луч OF) получаем
W φ =a=acrit cos(√ |
|
k−1 |
|
φ ) |
, |
(3.7.13) |
||||||||||||||
k+1 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
k +1 |
|
|
|
|
|
|
k−1 |
|
|
|
|
|||||||
W r=√ |
|
acrit sin(√ |
|
|
|
|
φ ) . |
(3.7.14) |
||||||||||||
k −1 |
k+1 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2k |
|
Учитывая, что для газа при адиабатном расширении, |
P=const a |
k−1 |
, для |
|||||||||||||||||
давления получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2k |
|
|
|
|
||
P=Pcrit [cos(√ |
k −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
. |
(3.7.15) |
|||||||||||||||
φ )] |
k −1 |
|||||||||||||||||||
k +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Соотношения (3.7.13) – (3.7.15) справедливы внутри сектора DOE, в |
||||||||||||||||||||
котором происходит изменение параметров потока при его развороте вдоль нового направления стенки канала. Внутри этого сектора φ растет, а потому, как следует из (3.7.13), (3.7.14) растет и модуль скорости потока
W =√W 2r +W 2φ , то есть поток ускоряется (по сути – расширяющийся
канал – это и есть геометрическое сверхзвуковое сопло). Как следует из (3.7.15) внутри сектора DOE давление в потоке падает, поэтому он называется сектором разрежения. Так как в секторе разряжения меняются вдоль лучей, исходящих из одной единственной точки O, такую
58
конфигурацию области разрежения называют центрированной простой волной.
Начало сектора разрежения, луч OD, отстоит от начала отсчета, луча OF , на угол φ1 (рис. 3.7.1). Последний определяется из соотношения
|
|
|
a1 |
|
|
|
φ 1=√ |
k+1 |
arccos( |
) |
, |
(3.7.16) |
|
k−1 |
acrit |
где a1 – скорость звука в набегающем потоке. Начало сектора разрежения, луч OD, отстоит от исходного направления потока на угол COD, который есть угол Маха, удовлетворяющий условию
sinα M = |
1 |
|
. |
(3.7.17) |
|
M |
1 |
||||
|
|
|
Соотношения (3.7.16), (3.7.17) позволяют определить как начало отсчета, луч OF , так и начало сектора разрежения, луч OD. Конец сектора разрежения, луч OE , который соответствует углу φ2, определяется из условия, что на выходе из него вектор скорости параллелен стенке канала OB, рис. 3.7.1. Исходя из геометрических соображений, это соответствует условию
Θ =ξ 2−ξ 1 , |
(3.7.18) |
где
ξ 2=φ 2+arctg [√kk−+11 ctg (√kk −+11 φ 2)] ,ξ 1=φ 1+arctg [√kk −+11 ctg (√kk−+11 φ 1)].
Ширина сектора разрежения DOE в таком случае составляет δφ = φ2 - φ1. Однако сектор не может быть шире определенного значения, так как на значение угла φ2 имеется ограничение. Поскольку из физических соображений следует, что a > 0, то из (3.7.13) вытекает,
|
π |
√ |
|
k+1 |
|
|
|
φ <φ max= |
2 |
|
. |
(3.7.19) |
|||
k−1 |
|||||||
Для воздуха |
φmax = 219.3 градуса. При данном значении угла |
W φ =a=0 , |
|||||
то есть плотность и температура газа обращаются в ноль, а радиальное значение скорости потока