Добавил:

qweru Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Тепломассообмен

Файл:

ИТАЭ ТФ-10 9 семестр / Газодинамика / Конспект лекций.pdf

Скачиваний:

281

Добавлен:

30.12.2018

Размер:

1.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2410 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

части, последующее же ускорение потока осуществляется за счет геометрических факторов.

Рисунок 2.10.2. Полутепловое сопло

РАЗДЕЛ 3. ПЛОСКИЕ ТЕЧЕНИЯ НЕВЯЗКОГО ГАЗА

3.1 Общие уравнения

Рассматривая данную проблему течение газа будем считать потенциальным, то есть полагать, что существует потенциал скорости φ,

W =grad φ = φ . Напомним, что если течение потенциально, то оно, одновременно, и безвихревое, rot W =0 (обратное утверждение также справедливо). Будем рассматривать только установившиеся течения,

∂∂t =0 . Рассматривать будем только баротропные процессы (см. п. 2.1).

Определим вид уравнения, которому удовлетворяет потенциал скорости. Для этого уравнение неразрывности (1.2.2) запишем в виде

(ρ W )=ρ W +W ρ =0 .		(3.1.1)

Движения идеального газа описываются уравнением Эйлера (1.3.2), которое для баротропного процесса приобретает вид

			P		2	ρ
(W )W =−				=−a		ρ	,			(3.1.2)
(W )W =−			ρ	=−a		ρ	,			(3.1.2)
			ρ
							2		∂ P
где		квадрат	скорости			звука a		=		. Умножая (3.1.2) на W и
где		квадрат	скорости			звука a		=	∂ ρ	. Умножая (3.1.2) на W и

комбинируя с (3.1.1), получаем
a	W −W (W )W =0 .									(3.1.3)
2

Окончательно, подставляя W = φ , получаем уравнение, в которое входит лишь потенциал скорости. В двумерном случае оно имеет вид

(a2−φ 2x)φ xx+(a2−φ 2y)φ yy−2φ x φ y φ xy=0 .					(3.1.4)
Здесь соответствующий индекс внизу означает производную, например
φ x=	∂φ	.

	∂ x
Для несжимаемой жидкости a2=			∂ P	→∞ и	уравнение (3.1.4)

∂ ρ

превращается в известное уравнение Лапласа

Δφ =0 .

Чтобы решить уравнение (3.1.4) необходимо выразить скорость звука a через потенциал скорости φ. Для этого воспользуемся соотношением (1.4.4) для полной энтальпии идеального газа

C P T +

W 2

=h0=C P T 0=const .

Так как C P T =

R T =

=(φ x) +(φ y )

, для скорости звука

k −1

получаем

a2=a02−

k−1

[(φ x )2+(φ y)2] .

(3.1.5)

Уравнение (3.1.4) вместе с соотношением (3.1.5) позволяют решить задачу о течении сжимаемого газа. Для получения однозначного решения требуется еще выставить граничные условия. На твердых поверхностях таким условием для газа, не обладающего вязкостью, является условие непроницаемости

W n=0 .	(3.1.6)

Здесь n – нормаль к поверхности.
Для плоских течений вместо потенциала скорости	φ можно ввести
функцию тока ψ

								45
∂φ	=W x=	ρ 0	∂ψ	;	∂φ	=W y=−	ρ0	∂ψ	.
∂ x	=W x=	ρ	∂ y	;	∂ y	=W y=−	ρ	∂ x	.
∂ x		ρ	∂ y		∂ y		ρ	∂ x

3.2 Метод малых возмущений

Уравнение (3.1.4) можно упростить, если во всем пространстве скорость газа лишь незначительно отличается по величине и направлению от скорости исходного, натекающего из бесконечности однородного

потока W 1 , то есть

W =W 1+w , w=(w x ,w y) , w= φ ' , φ =φ∞+φ ' ,	P=P1+ p ' .
Если ось X совпадает с направлением исходного потока, то
φ =φ ' +x W 1 .	(3.2.1)

Подставляя (3.2.1) в (3.1.4) и оставляя в уравнении члены только первого порядка малости получаем


(1−M 12)φ ' xx+φ ' yy=0 ,										(3.2.2)
где	M 1=	W 1				. Отметим, что при M 1=1 уравнение (3.2.2) меняет тип:
			a1

при	M 1<1				данное уравнение относится к эллиптическому типу, а при
M 1>1 – гиперболическому.
	Так как часто представляет интерес не только распределение скорости,
но и распределение давления, то получим соотношение и для него.
	Полный					дифференциал термодинамической		энтальпии равен
dh=Tds+			1	dP . Таким образом для изоэнтропы			(	∂h	) =	1	. Всюду в


			ρ					∂ P S		ρ

потоке давление является функцией двух термодинамических параметров, например P(s, h). Для адиабатического процесса

P−P1= p '≈( ∂ P ) (h−h1)=ρ 1(h−h1 ) . ∂ h S

Так как h+W22 =h0=const , то h−h1≈−W 1 w x .

Таким образом отличие давления от своего фонового значения составляет

	46
p'≈−ρ W 1 wx .				(3.2.3)
			p=2	P−P1
Для коэффициента давления, который определяется как			p=2	ρ1 W 12 ,
Для коэффициента давления, который определяется как			̄	ρ1 W 12 ,
			̄
получаем
p=−2	wx	.		(3.2.4)
p=−2		.		(3.2.4)
̄	W 1
	W 1

3.3 Дозвуковые течения при малых возмущениях

При

M 1<1

уравнение (3.2.2) сводится к уравнению Лапласа заменой

переменных:

x1=x ,

y1= y √1−M 12

. В таком случае для малой добавки к

потенциалу скорости имеем

∂φ ' =

∂φ '

∂φ ' =

∂φ ' √

=w y1 √

w x=

=w x1

w y=

1−M 12

∂ x1

∂ x

∂ y

∂ y1

∂2 φ '

∂2φ '

2 =

(1−M 1) ,

∂ x

∂ y

∂ x1

∂ y1

и (3.2.2) записывается в виде

∂2φ '

=0 .

(3.3.1)

∂ x12

∂ y12

Следовательно, каждому течению газа в плоскости (x, y) при околозвуковых скоростях при малых возмущениях соответствует течение несжимаемой жидкости в плоскости (x1, y1) , причем между скоростями для той и другой задачи существует соотношение

w x=w x1	, w y=w y1 √	1−M 12	.		(3.3.2)
Угол	наклона β касательных			к линиям тока в исходной задаче
удовлетворяет соотношению tg β =				w y	, в новой системе координат
				W 1+wx

соответствующий угол β1 будет удовлетворять соотношению

						47
tg β 1=	w y1	=		tg β	>tg β .	(3.3.3)
	W 1+wx1
			√1−M 12
			√1−M 12

Так как для задачи движения жидкости без трения обтекаемый жидкостью контур является ее линией тока, то из этого вытекает следующий алгоритм для расчета, например, обтекания тонкого профиля, рис. 3.3.1.

Рисунок 3.3.1. Задача об обтекании тонкого профиля дозвуковым потоком

1.Переходим в новые координаты (x1, y1);

2.В этих координатах рассматриваем задачу об обтекании профиля, толщину которого и угол атаки α, под которым его обтекает набегающий

поток, увеличиваем в	1	раз по отношению к исходному;
	√1−M 12

3.Для нового профиля решаем задачу (3.3.1);

4.Переходим в исходные координаты (x,y), пересчитываем скорости по соотношениям (3.3.2).

3.4Сверхзвуковые течения при малых возмущениях. Характеристики 1-го и 2-го рода

Для	сверхзвуковых течений				M 1>1 и уравнение (3.2.2) обычно
записывают в виде
2	∂2 φ '		∂2φ '
(M 1−1)		−		=0 .	(3.4.1)
(M 1−1)	∂ x2	−	∂ y2	=0 .	(3.4.1)
	∂ x2		∂ y2

Сравнение с (2.1.5) показывает, что (3.4.1) – волновое уравнение. Таким образом можно ожидать, что в координатах (x, y) решение имеет вид суперпозиции бегущих волн.

Уравнение (3.4.1) можно переписать в виде

∂

(√M 1−1

−

)(√M 1−1

)φ ' =0 .

(3.4.2)

∂ x

∂ y

∂ x

∂ y

Используя замену переменных

ξ =x+ y √

,η=x− y √

(3.4.3)

M 12−1

перепишем (3.4.2) в виде

∂

φ '=0 .

(3.4.4)

∂η ∂ξ

Общим

решением

(3.4.4)

является φ' = f(η) +g(ξ),

где f и g –

произвольные функции. Их конкретный вид зависит от граничных условий


задачи.
При g(ξ) =				0 линии φ' = const описываются уравнением
η=x− y √			M 12 −1	=const	. Эти линии называются характеристиками 1-го
рода и представляют семейство прямых с углом наклона α1, рис.3.4.1,
1					1
tg α1=				, то есть	sinα1=		.
	√
		1−M 12				M 12

Рисунок 3.4.1. Характеристики 1-го и 2-го рода

Таким образом α1 – угол Маха набегающего потока (см. также рис. 2.7.3). Аналогично, при f(η) = 0 линии φ' = const описываются уравнением

ξ =x+ y √M 21−1=const . Эти линии называются характеристиками 2-го рода и представляют семейство прямых с углом наклона α2,

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2410 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>