Вопрос 34. Ортогональная тригонометрическая система. Ряд Фурье для абсолютно интегрируемой на [-;] ф-ции; ряд Фурье для четной и нечетной ф-ции. Ряд Фурье в случае произвольного интервала.

Опр. Ряд вида a₀/2+(n=1,)(a_ncosnx+b_nsinnx) наз. рядом Фурье. (a_i, b_i - константы). 1,cosx,sinx,cos2x,sin2x… тригоном. система.

Опр.: Система ф-ций ₁(x), ₂(x),…,_n(x),… опр. на [a,b] наз. ортогональной, если <_n(x),_m(x)> =0 при nm, <_n(x), _m(x)>>0, n,m

Утв.: Тригоном. система 1, sinx, cosx, sin2x, cos2x,… явл. ортогон. с-мой на [-;]

_-^ sinnx*sinmxdx=1/2_-^ (cos(n-m)x-cos(n+m)x)dx = (½)*(1/(n-m))_-^ cos(n-m)xd(n-m)x= 1/(2(n-m))*sin(n-m)x_-^ =0

<sinnx, sinmx>=0 nm. _-^ sinnx*cosmxdx=0. _-^ cosnx*cosmxdx=0. _-^ cosnxdx=0.

_-^ sinmxdx=0. _-^ 1*dx=2. _-^ sin²nxdx=_-^ (1-cos2nx)/2 dx= ½(_-^dx-_-^cos2nxdx)

_-^ cos²mxdx=.

f(x) – абс. интегрир. на [-;] (т.е.  _-^f(x)dx).

Опр.: Пусть f(x) – абс. интегрир. на [-;]. Тогда ряд (a₀/2)+(n=1,)(a_ncosnx+b_nsinnx), где a₀=(1/)_-^ f(x)dx, a_n=(1/)_-^ f(x)cosnxdx, b_n=(1/)_-^ f(x)sinnxdx, наз. рядом Фурье ф-ции f(x).

f(x)(a₀/2)+(n=1,)(a_ncosnx+b_nsinnx)

Пусть f(x)- четная на [-;] ф-ция. f(x)sinnx - ф-ция нечет. на [-;]  b_n=(1/)_-^ f(x)* sinnxdx=0; f(x)cosnx-ф-ция четн. на [-;]  a₀=(1/)_-^ f(x)dx=(2/) ₀^ f(x)dx,

a_n=(2/)₀^ f(x)cosnxdx

f(x)(a₀/2)+(n=1,)a_ncosnx, где a_n=(2/)₀^ f(x)cosnxdx

Пусть f(x) – четная на [-;] ф-ция. Пусть f(x) – нечетная на [-;] ф-ция  f(x)(n=1,)b_n*sinnx, b_n=(2/)₀^ f(x)sin nxdx.