Вопрос 30. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования.

P(x,y), Q(x,y) опр и непрер в замкн обл D.

Сущ непрер ∂P/∂y, ∂Q/∂x/ когда ∫( l⁺)Pdx+Qdy ∫( l )Pdx+Qdy

Утв. ∫Pdx+Qdy не зависит от пути интегр-я, а зависит только от нач и кон точек , когда

этот интеграл по любому замкн контуру из D равен нулю.

Док-во:

1. Пусть ∫(l)Pdx+Qdy не зависит от пути интегр-я =>

∫(ACB)Pdx+Qdy=∫(ADB) Pdx+Qdy

∫ (ACB)- ∫(ADB) = 0, ∫(ACB) + ∫(BDA) = 0 => ∫(ACBDA) = 0

2. Пусть инт-л по любому замкн контуру равен 0

∫(ACB) + ∫(BDA) = 0, => ∫(ACB) = -∫(BDA) = ∫(ADB)

Теорема: P(x,y), Q(x,y) – опр и непрер в замкн обл D. Тогда ∫(AB) Pdx+Qdy не зависит от путей интегр-я  когда сущ u(x,y), опр в обл D, такая что du=Pdx+Qdy В этом случ ∫(AB) Pdx+Qdy = u(B)-u(A)

1. Пусть ∫(AB) Pdx+Qdy не зависит от пути интегрир.

∫(M₀M) Pdx+Qdy = u(x,y), du (x,y)= Pdx+Qdy P(x,y) = ∂u(x,y)/ ∂x, Q(x,y)= ∂u(x,y)/ ∂y

u(x+h,y)-u(x,y)= ∫(M₀M_n) Pdx+Qdy - ∫(M₀M) Pdx+Qdy== ∫(M₀M_n) Pdx+Qdy + ∫(MM₀) Pdx+Qdy= ∫(MM₀M_n) Pdx+Qdy= ∫(MM_n)Pdx+Qdy=∫(MM_n)P(x,y)dx =∫(x ;x+h) P(t,y)dt=P(x+θh,y)h, 0<θ<1

lim (u(x+h,y)-u(x,y))/n=limP(x+ θh,y)= P(x,y) ∫(AB) Pdx+Qdy= u(B)-u(A)

x=x(t), y=y(t), tє[a,b] A(x(a),y(a)) ; B(x(b),y(b))

∫(a ;b)(P(x(t),y(t))x’(t) + Q(x(t),y(t)y’(t)))dt =∫(a ;b)(∂u/∂x(x(t),y(t))x_t^’ + ∂u/∂y(x(t),y(t))y_t^’)dt =

=∫(a ;b)u_t^’(x(t), y(t))dt = u(x(t), y(t))|_a^b = u (x(b),y(b))- u(x(a),y(a)) = u(B) – u(A)

2. ∫( l ) Pdx+Qdy

Дано: Pdx + Qdy = du(x,y) => Pdx + Qdy = u(b) – u(a)

Надо док-ть: ∫(на Г) Pdx+Qdy = 0, где Г – любой замкн контур ∫(на Г) Pdx + Qdy = u(A) – u(A) = 0

Опр:

Обл D наз односвязной, если любой простой замкн контур в D огранич. обл, целиком лежащую в D.

Теорема: P(x,y), Q(x,y) опр и непр в замкн обл D. Сущ. непр ∂Q/∂x, ∂P/∂y в обл D Тогда для того, чтобы ∫( l ) Pdx + Qdy не зависил от пути интегр-я, необходимо, а в случае односвязной обл D и достачно, чтобы ∂P/∂y = ∂Q/∂x

1. ∫(AB) Pdx + Qdy не зависит от пути интегрир => сущ. u(x,y):

du(x,y) = Pdx + Qdy, т.е. ∂u/∂x=P, ∂u/∂y=Q

∂²u/∂y∂x=∂P/∂y => ∂P/∂y=∂Q/∂x

∂²u/∂x∂y=∂Q/∂x =>P(x,y) = -y/(x²+y²); Q(x,y) = x/(x²+y²) ∫(AB) Pdx + Qdy

∂P/∂y = (-x²-y²+2y²)/(x²+y²)² =y²-x²/(x²+y²)²

∂Q/∂x = (x²+y²-2y²)/(x²+y²)² =y²-x²/(x²+y²)²

D=R-{(0,0)} x=cos t, y=sin t, 0<t<2π

∫(на Г)Pdx + Qdy=∫ (0; 2π) ((-sint/1)(-sint) + (cost/1)costdt)= ∫ (0; 2π) dt=2π P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)

∫ (AB) Pdx + Qdy +Rdz не зависит от пути интегрир сущ u(x,y,z): du=Pdx+Qdy+Rdz

∫ (AB) Pdx + Qdy P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) ∫( l ) Pdx + Qdy + Rdz = u(B) – u(A)

сущ u(x,y,z) :du = Pdx + Qdy + Rdz ∂P/∂y = ∂Q/∂x, ∂P/∂z = ∂R/∂x, ∂Q/∂z = ∂R/∂y

Вопрос № 31 Поверхностный интеграл 1-го рода

Пусть S – поверхность в R³

S_i, i = 1, …, n – частичные поверхности, (x_i,y_i,z_i) принадл. S_i, u = f(x,y,z) задана на S

, S_i – площадь i-той частичной поверхности

Если сущ. , не зависящий от разбиения поверхности S и выбора промежуточных точек, то он называется поверхностным интегралом 1-го рода от функции f(x,y,z) по поверхности S.

S: x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,y) (u,v)DR² непрер. диффер. в обл. D

, где

E = G = F =

S: z = z(x,y), (x,y)D x = x, y = y

E = 1 + , G = 1 + , F = EG – F² = 1 + +

Основные свойства:

1

Вопрос № 32 Поверхностный интеграл 2-го рода

(умножаем не на площадь, а на ее проекцию)

S – гладкая поверхность в R³

Ф(x,y,z) определена на S

S_i , (x_i,y_i,z_i) S_i

смотрим значение функции в этой точке

Возмемь проекцию S_i на плоскость (например, хОу)

Если сущ. ( где d_i – площадь проекции области S_i на плоскость хОу), не зависящий от разбиения поверхности S и выбора промежуточных точек, то он называется поверхностным интегралом 2-го рода от функции Ф(x,y,z) по поверхности S

=

т. к. сущ. формула dxdy = cosdS, где - угол между единичным вектором нормали и положительно направленной оси Oz

S⁺ или S₊ - поверхность ориентирована положительно

S^- или S_- - поверхность ориентирована отрицательно

= = - = = -

F = {P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)}, (x,y,z)S

= =

где - координата единичного вектора нормали

=