Вопрос 24

Замена переменных в двойном интеграле.

- непрерывно диффер.

- якобиан

x = x(u,v) биективное

y = y(u,v) непр отобр сущ u = u(x,y), v = v(x,y) непр отобр

xy = a, y = bx xy=u, y/x=v u=a, v=b

Площадь в криволинейных координатах

x=x(u,v), y=y(u,v)

A↔ A’ A(x(u,v), y(u,v))

B↔ B’ B(x(u+Δu, v), y(u+Δu, v))

C↔ C’ C(x(u+Δu, v+Δv), y(u+Δu, v+Δv))

D↔ D’ D(x(u, v+Δv), y(u, v+Δv))

P₁(x₁,y₁), P₂(x₂,y₂) P₃(x₃,y₃)

S_{Δ P1 P2 P3} = 1/2 │x₁-x₂ x₂-x₃; │

│ y₁-y₂ y₂-y₃ │

Δp≈2·S_BAD = │ x(u+Δu, v –x(u,v) x(u,v) – x(u, v+Δv) │

│ y(u+Δu, v)–y(u,v) y(u,v) – y(u, v+Δv) │

│x’_u· Δu x’_v · (-Δv) │

│y’_u· Δu y’_v · (-Δv) │

Δp≈ Δu · Δv · │I│, где I = │x’_u x’_v│- якобиан Δp≈ │I│· ΔS

│y’_u y’_v│

∫∫(на р) f(x,y)dxdy = ∫∫(на S) f(x(u,v), y(u,v)) · │I│dudv

∫∫(на D’) f ( r cosφ, r sinφ) rdrdφ

∫∫(на D) f(x,y)dxdy = ∫∫(на D’) f ( r cosφ, r sinφ) rdrdφ

x = r cosφ I = │cosφ - r cosφ │= r cos²φ + r sin²φ = r

y = r sinφ │ sinφ r sinφ │

y = ax², y = bx², 0<a<b

xy = p, xy = q, 0<p<q

пример

∫∫(на D) dxdy

u = y/x², v = xy u=a, u=b v=p, v=q x’_u, x’_v, y’_u, y’_v

x³ = v/u, x = v^1/3·u^-1/3, y = v^2/3·u^1/3

x’_v = 1/3·v^-2/3·u^-1/3, x’_u= -1/3·v^1/3·u^-4/3

y’_v = 2/3·v^-1/3·u^1/3, y’_u= 1/3·v^2/3·u^-2/3

│x’_u· Δu x’_v · (-Δv) │= 1/9·u^-1+2/9·u^-1= 1/3·u^-1

│y’_u· Δu y’_v · (-Δv) │

1/3∫∫(на p) u^-1dudv = 1/3 ∫(a;b)du ∫(p;q)1/u·dv = 1/3 ∫(a;b) (du/u) ·(q-p) =

= ((q-p)/3) ln b/a

Вопрос 25. Геометрические приложения двойных интегралов а) вычисление площадей б) вычисление объемов в) вычисление площадей поверхностей

1. Вычисление площадей плоских областей

S(Д) = ∫∫_д dxdy

2. Вычисление объёмов

Z=f(x,y), (x,y) принад. Д

V=∫∫_Дf(x, y)dxdy

1. Вычисление площадей поверхности

Z=f(x,y), (x,y) принад. Д, f(x,y) непрер. дифференцируема на Д. Тогда площадь поверхности S=∫∫_Д√1+(√∂f/∂x)²+(∂f/∂y)²dxdy

Вопрос 26. Тройной интеграл. Переход к повторному интегралу (без д-ва). Замена переменных (без д-ва), цилиндрич. И сферич. Система координат.

Переход к повтор. интегралу. u=f(x,y,z) опр на D. ∑_i=1ⁿf(ξ_i, η_i, ζ_i)∆x_i∆y_i∆z_i .

∫∫∫_Df(x,y,z)dx dy dz = ∫_a^bdx ∫_φ1(x)^φ2(x)dy ∫_f1(x,y)^f2(x,y)f(x,y,z)dz

Замена переменных. ∫∫∫_Df(x,y,z)dx dy dz. | x_u' x_v' x_w' |

x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w) I=| y_u' y_v' y_w' |

I=∫∫∫_D' f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))|I|du dv dw. | z_u' z_v' z_w' |

Цилиндрич. система координат. r, φ, h;

r≥0, 0≤φ≤2π, hЄR.

x= r cosφ, y= r sinφ, z=h

| cosφ -rsinφ 0 |

I=| sinφ rcosφ 0 |=r

| 0 0 1 |

∫∫∫_D' f(rcosφ,rsinφ,h)rdr dφ dh

Cферич. система координат. 0≤φ≤2π, -π/2≤θ≤π/2, θ=MOM₁, OM=r,

OM₁=rcosφ. x= rcosθcosφ, y= rcosθsinφ, z=rsinθ. I=r²cosθ

Вопрос 28. Криволинейный интеграл 2-го рода; его свойства.

Г: {r(t), t[a,b]} f(x, y, z)=f(x(t), y(t), z(t)), t[a, b]

(i=1,n) f(_i,_i,_i)*x_i. lim(maxx_i0)(i=1,n) f(_i,_i,_i)*x_i

_Г f(x,y,z)dx. _AB f(x,y,z)dx. _Г f(x,y,z)dy. _Г f(x,y,z)dz

_Г f(x,y,z)dx= _a^b f(x(t),y(t),z(t))*x_t’dt

_Г f(x,y,z)dx=₀^S f(x(s),y(s),z(s))*x_s’*ds=₀^S f(x(s),y(s),z(s))*cosds=_Г f(x,y,z)cosds

( Г: {r(s), 0sS}, {x(s),y(s),z(s)}, x_s’=dx/ds=cos)

_Г f(x,y,z)dy=_Г f(x,y,z)cosds. _Г f(x,y,z)dz=_Г f(x,y,z)cosds, где , ,  - углы между касат. к кривой и положит. направл. осей Ox, Oy, Oz.

Свойства:

_AB f(x,y,z)dx=-_BA f(x,y,z)dx. _AB f(x,y,z)cosds.

_BA f(x,y,z)*cos(+)ds=-_BA f(x,y,z)cosds=-_AB f(x,y,z)cosds=-_AB f(x,y,z)dx

( Г: y(x), z(x) x[a,b]; _Г f(x,y,z)dx=_a^b f(x, y(x), z(x))dx.)