Вопрос 22

Двойной интеграл. Теорема об интегрируемости непрерывной функции двух переменных (без доказательства). Свойства двойного интеграла. Теорема о среднем.

z = f(x,y) , (x,y) G, где G – замкнутая область.

- частичная обл.

- площади обл. .

- интегральная сумма.

Опр.Диаметром частичной области называется максимальная длина хорды этой частичной области.

Если, не зависящий от разбиения области G и от выбора промежуточных точек , то этот предел называется двойным интегралом функции f(x,y) по области G.,

Теорема(об интегрируемости непрерывной функции двух переменных) Пусть f(x,y) непрерывна в области G. Тогда она интегрируема в этой области, т.е.

Свойства двойного интеграла.

1^о. Аддитивность.Если функция f(x,y) интегрируема в области G и если область G при помощи кривой T площади нуль разбивается на две связные и не имеющие общих внутренних точек области G₁ и G₂, то функция f(x,y) интегрируема в каждой из областей G₁ и G₂, причём

2^о. Линейное свойство.Если функции f(x,y) и g(x,y) интегрируемы в области G, а и - любые вещественные числа, то функция также интегрируема в области G, причём

.

3^о. Если функции f(x,y) и g(x,y) интегрируемы в области G, то и производные этих функций интегрируемы в G.

4^о. Если f(x,y) и g(x,y) обе интегрируемы в области G и всюду в этой области f(x,y) ≤ g(x,y), то

.

5^о. Если функция f(x,y) интегрируема в области G, то и функция |f(x,y)| интегрируема в области G, причём .

Теорема о среднем значении.Если обе функции f(x,y) и g(x,y) интегрируемы в области G, функция g(x,y) неотрицательна (неположительна) всюду в этой области, M и m – точная верхняя и точная нижняя грани функции f(x,y) в области G, то найдётся число μ, удовлетворяющее неравенству m ≤ μ ≤ M и такое, что справедлива формула

.

В частности, если функция непрерывна в G, а область G связна, то в этой области найдётся такая точка (ξ,η) что μ=f(ξ,η), и формула принимает вид

.

Интеграл равен площади области G.

Вопрос № 23

Приведение двойного интеграла к повторному (а) случай прямоугольной области, б) случай области более общего вида). Двойной интеграл в полярных координатах.

а) случай прямоугольной области

Теорема Пусть для функции f(x,y) в прямоугольнике существует двойной интеграл .Пусть далее для каждого x из сегмента существует однократный интеграл .Тогда существует повторный интеграл и справедливо равенство .

Доказательство.

Разберём прямоугольник R с помощью точек и на n·p частичных прямоугольников (k=1,…,n;l=1,…,p).

Положим , и обозначим через и точные грани функции f(x,y) на частичном прямоугольнике .

Тогда всюду на этом прямоугольнике .

Положим в этом неравенстве , где - произвольная точка сегмента , и после этого проинтегрируем по y в пределах от до . Получим . (1)

Суммируя (1) по всем от 1 до p и используя обозначение , будем иметь . (2)

Далее умножим (2) на и просуммируем по всем k от 1 до n. Получим . (3)

Пусть наибольший диаметр частичных прямоугольников стремится к нулю. Тогда наибольшая из длин стремится к нулю. Обрамляющие члены в (3), представляющие собой нижнюю и верхнюю суммы, стремятся при этом к двойному интегралу . Стало быть, существует предел и среднего члена в (3), равный тому же самому двойному интегралу. Но этот предел по определению однократного интеграла равен _. Тем самым доказано существование повторного интеграла и равенство . Теорема доказана.

б) случай области более общего вида

Теорема

Пусть выполнены следующие условия:

1) область D ограничена, замкнута и такова, что любая прямая, параллельная оси Oy, пересекает границу этой области не более чем в двух точках, ординаты которых и , где ;

2) функция f(x,y) допускает существование двойного интеграла и существование для любого x однократного интеграла .

При этих условиях существует повторный интеграл

( и - наименьшая и наибольшая

абсциссы точек области D)

и справедливо равенство .

Доказательство.

Обозначим через R прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям, содержащий область D, а через F(x,y) – функцию, совпадающую с f(x,y) в точках области D и равную нулю в остальных точках R. Для функции F(x,y) выполнены в прямоугольнике R все условия теоремы, и, стало быть, справедлива формула , которая (с учётом того, что F(x,y) равна нулю вне D и совпадает с f(x,y) в D) переходит в формулу .

Двойной интеграл в полярных координатах.