Вопрос 18

Понятие функции заданной неявно. Теорема о неявной функции для случая: а) одного уравнения с двумя переменными; б) одного уравнения с (n+1) переменными.

F(x, y) = 0 y = y(x)

Пр. x² + y² - 1 = 0, x² + y² = 1 y = для люб. Х=[-1;1]

а) Теорема(существование неявной функции).

F(x, y) = 0

1) F(x, y) определена и непрерывна в некоторой окрестности точки (x_o, y_o).

и - непрер. в некоторой окрестности точки (x_o, y_o).

2) F(x_o, y_o) = 0 3)

Тогда

единственная непрерывная функция y = y(x), опр. в окр. точки x_o, такая, что

1) f(x_o) = y_o 2) F(x,f(x)) = 0 в точке рассматриваемой окрестности.

3) y = f(x) – диффер. в некоторой окрестности точки x_o и , .

Доказательство:

а) (x_o, y_o), (x_o + x, y_o + y)

F = F(x_o + x, y_o + y) – F(x_o, y_o) = 0

y = f(x_o + x) – f(x_o)

F(x_o + x, y_o + y) – F(x_o + x, y_o) + F(x_o + x, y_o) – F(x_o, y_o) = 0

, - непрер. в некоторой окрестности точки (x_o, y_o)

окрестность точки (x_o, y_o) в которой

б) Теорема(существование неявной функции n переменных)

F(x₁, …, x_n, y) – определена и непрерывны в некоторой окрестности точки (x^(o), y_o)

, i = 1, …, n

- существует и непрерывна в некоторой окрестности точки (x^(o), y_o)

Тогда в некоторой окрестности точки x(o) единственная непрерывная функция y = f(x₁, …, x_n)

1) 2)

3) i = 1, …, n непрер.

Вопрос19

1.Неявные функции, определяемые системой функциональных уравнений. Теорема о существовании неявных функций, определяемых системой уравнений (без доказательства). 2.Вычисление частных производных функций, неявно определяемых посредством системы функциональных уравнений.

1.

(*)

- решение системы функциональных уравнений, если

Теорема

1) - диффер. в точке

2) Все частные производные функции по переменным

непрер. в точке М.

3) - якобиан

Тогда для достаточно малых окрестность точки ,

в которой единственная непрерывная функция :

-которая является решением системы(*).

2.вычисление частных производных функций

Вопрос 20

Замена переменных для неявно заданных функций, 1) случай одной независимой переменной (а) переход только к новой переменной, б) переход к новой переменной и новой функции), 2) случай нескольких переменных (а) переход только к новым независимым переменным, б) переход к новым переменным и новой функции).

1. Ф-ции одной пер.

а) x = f( t ) , y = y( f( x ) )

б) t – новая переменная, n – новая функция. x = f( t, u( t ) ) , y = g( t, u( t ) )

, , .

2. Ф-ции неск. пер.

а) x = f( u, v ) , y = g( u, v ) , где u,v – новые переменные. 1) z = z( f( u, v ), g( u, v ) )

2) формулы перехода имеют вид

б) x,y – ст. пер., z = z(x,y) – ст. ф-ция. u,v – нов. пер., w = w(u,v) – нов. ф-ция.

1) x = f(u,v,w) , y = g(u,v,w) , z = h(u,v,w) , z(x,y) = h(u,v)

2)

Вопрос № 21

Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теорема о непрерывности интеграла по параметру. Теорема о дифференцировании интеграла по параметру (правило Лейбница).

Пусть в прямоугольнике П={} определена функция f(x,y), интегрируемая по y на сегменте при любом фиксированном x из сегмента . В этом случае на сегменте определена функция - собственный интеграл зависящий от параметра x.

Пр.

z = f(x,y), (x,y) D , - собственный интеграл, зависящий от параметра.

Теорема(о непрерывности интеграла по параметру) непрер. на Тогда - непрер. Ф-я на .

- равномерно непрерывна на такое, что для , .

h :

Теорема(о дифференцировании интеграла по параметру (правило Лейбница))

z = f(x,y), (x,y) , непрер. на Тогда

вып.

, где