Вопрос 16 Достат. Усл-я условного экстремума.

u= f(x₁,…,x_n). 1) диффер в некот окр т М₀(х₁⁽⁰⁾,…,х_n⁽⁰⁾), 2) вдажды диффер в т М₀ 3) М₀(х₁⁽⁰⁾,…,х_n⁽⁰⁾) - стац. т. ф-ии u= f(x₁,…,x_n), т.е. ðf/ðx_i(М₀)=0, i=1,…,n. Тогда 1) Если d²u|_Mo - положит. опр. форма, то М₀ - т. лок min, 2) Если d²u|_Mo - отрицат. опр. форма, то М₀ - т. лок max, 3) Если d²u|_Mo - знакоперемен. форма, то в т. М₀ лок экстремума нет.

Док-во: 1) d²u|_Mo - положит. опр. форма.

d²u|_Mo=∑_j=1ⁿ∑_i=1ⁿ(ð²f/ðx_i ðx_j)dx_i dx_j= ∑_j=1ⁿ∑_i=1ⁿ(ð²f/ðx_i ðx_j)(М₀)(x_i-x_i⁽⁰⁾)(x_j-x_j⁽⁰⁾).

u(M)-u(М₀)=(1/1!)du|_Mo+(1/2!)d²u|_Mo+о(g²), где g=g(M,М₀).

u(M)-u(М₀)½ ∑_j=1ⁿ∑_i=1ⁿ(ð²f/ðx_i ðx_j)(М₀)(x_i-x_i⁽⁰⁾)(x_j-x_j⁽⁰⁾)+о(g²).

g=√((x₁-x₁⁽⁰⁾)²+…+(x_n-x_n⁽⁰⁾)²)=√(∑_i=1ⁿ(x_i-x_i⁽⁰⁾)²), h_i=(x_i-x_i⁽⁰⁾)/g, h_j=(x_j-x_j⁽⁰⁾)/g, |h_i|≤1, |h_j|≤1, h₁²+…+h_n²=1 => (h₁+…+h_n) Є единич. сфере в Rⁿ.

u(M)-u(М₀)=½g²∑_j=1ⁿ∑_i=1ⁿ(ð²f/ðx_i ðx_j)(М₀)h_ih_j +α(g)g²= g²(½∑_j=1ⁿ∑_i=1ⁿ (ð²f/ðx_i ðx_j)(М₀)h_ih_j +α(g)), где α(g)→^g→00.

½ ∑_j=1ⁿ∑_i=1ⁿ (ð²f/ðx_i ðx_j)h_ih_j - опр и непрер на единич сфере в Rⁿ

Пусть m=inf ½ ∑_j=1ⁿ∑_i=1ⁿ (ð²f/ðx_i ðx_j)h_ih_j , m>0. При достаточно малых g: m+α(g)>0. Тогда u(M)-u(М₀)>0, u(М₀)<u(M) => М₀ - т лок min

3) d²u|_Mo - знакоперемен квадр форма

Ф(t₁,…,t_n) - знакоперемен квадр форма =>(?) сущ (h₁',…,h_n'): Ф(h₁',…,h_n')>0, (h₁')²+…+(h_n')²=1, сущ (h₁",…,h_n"): Ф(h₁",…,h_n")<0, (h₁")²+…+(h_n")²=1.

сущ (t₁',…,t_n'): Ф(t₁',…,t_n')>0, сущ (t₁",…,t_n"):Ф(t₁",…,t_n")<0.

h_i'=(t_i/√(∑_i=1ⁿ(t_i')²)), ∑_i=1ⁿ(h_i')²=1

Ф(h₁',…,h_n')= ∑_j=1ⁿ∑_i=1ⁿa_ij (t_i'/√(∑_i=1ⁿ(t_i')²))(t_j'/√(∑_j=1ⁿ(t_j')²))= (1/∑_i=1ⁿ(t_i')²) ∑_j=1ⁿ∑_i=1ⁿa_ij t_i't_j' >0 (т.к. 1/∑_i=1ⁿ(t_i')²>0, ∑_j=1ⁿ∑_i=1ⁿa_ij t_i't_j' >0) т.е. Ф(h₁',…,h_n')>0.

h_i"=(t_i"/∑_i=1ⁿ (h_i")²).

x_i'=x_i⁽⁰⁾+ gh_i', i=1,…,n , M'(x₁',…,x_n'). x_i"=x_i⁽⁰⁾+ gh_i", i=1,…,n , M" (x₁",…,x_n"). g(M',M").

g(M₀,M')= √(∑_i=1ⁿ(x_i⁽⁰⁾+gh_i'-x_i⁽⁰⁾)²)=g, g(M₀,M")= √(∑_i=1ⁿ(x_i⁽⁰⁾+gh_i"-x_i⁽⁰⁾)²)=g.

(h₁',…,h_n'), (h₁",…,h_n"). M' x_i'=x_i⁽⁰⁾+ gh_i', M" x_i"=x_i⁽⁰⁾+ gh_i". g(M₀,M')=g, g(M₀,M")=g

f(M')-f(М₀)=½!∑_j=1ⁿ∑_i=1ⁿ (ð²f/ðx_i ðx_j) (x_i-x_i⁽⁰⁾)(x_j-x_j⁽⁰⁾)+o(g²)= ½g² ∑_j=1ⁿ∑_i=1ⁿ (ð²f/ðx_i ðx_j)h_i'h_j'+ g²α₁(g)= g²(∑_j=1ⁿ∑_i=1ⁿ (ð²f/ðx_i ðx_j)h_i'h_j'+ α₁(g))

f(M")-f(М₀)= g²(∑_j=1ⁿ∑_i=1ⁿ (ð²f/ðx_i ðx_j)h_i"h_j"+ α₂(g))

f(M')-f(М₀)>0, f(M")-f(М₀)<0

Вопрос 17.

Касательная плоскость. Нормальный вектор.

z = f(x, y) – диффер. в точке (x_o, y_o). f(x, y) = f(x_o, y_o) + (x_o, y_o)(x - x_o) + (x_o, y_o)(y - y_o) + o().

z = z_o + (x_o, y_o)(x - x_o) + (x_o, y_o)(y - y_o) , где z_o = f(x_o, y_o)

Касательная плоскость к графику функции z = f(x, y) в точке (x_o, y_o).

(x_o, y_o)(x - x_o) + (x_o, y_o)(y - y_o) – (z - z_o) = 0-векторы положит.плоскости

( (x_o, y_o), (x_o, y_o), -1 ) , (x - x_o, y - y_o, z - z_o)-вектор ортог.к косат.плоскости

( (x_o, y_o), (x_o, y_o), -1 ) – вектор нормали к поверхности z = f(x, y) в точке (x_o, y_o).

_______________________________________________

y = f(x₁, …, x_n) – диффер. в точке (, …, )

f(x₁, …, x_n) = f(, …, ) + ( x^(o))( x₁ - ) + … + (x^(o))( x_n - ) + o(), где

y = y_o + ( x^(o))( x_i - ) – касательная плоскость к поверхности y = f(x₁, …, x_n).

y_o = f(x^(o))

( x^(o))( x_i - ) – (y - y_o) = 0

(x₁ - , …, x_n - , y - y_o)

( ( x^(o)), …, (x^(o)), -1 ) – вектор нормали к поверхности y = f(x) в точке (x^(o), y_o)