Вопрос 9.

Частные производные. Диференцируемось ф-ции несколькихпер-х:

-определена на откр. Мн-ве Q. Q.

- к-тая произв-ная ф-ции

u =

Теорема о существовании частных пр-х диффер-й в т-ке ф-ции: Th:Если ф-я u = диффер. В т-ке М, то .

u=-диффер. В т-ке М

=

.

Непрерывность дифф-й в т-ке ф-ции: Если ф-я диффер в т-ке М, то ф-я u=f(x) непрер. В т-ке М.

при непрер. В т-ке М.

Достаточное ус-е диффер-ти ф-ции в т-ке: Th: непрер. В некотор. Окр-ти т-ки М ,i=1,…,nф-я диффер.в т-ке М.

U=f(x, y) -непрер. в некотор. Окр-ти т-ки М, -непрер. в некотор. Окр-ти т-ки Мопр. на опр. на =непрер. в т-ке М.

Дифференциал ф-ции неск. переем-х: Пусть диффер. в . Опр.:Дифференц. ф-ции n перем-х наз. Главная линейная часть полного приращения ф-ции относительно приращения аргументов. для незав. перем-х .

Вопрос 10.

Дифференцирование сложной ф-ции: диффер. В т-ке М

диффер. в т-ке

Теорема

тогда диффер. в т-ке и …

i = 1,…,k.

диффер. в т-ке , где р=

Однородные ф-ции степени р: Опр.: Q

Ф-я u=f(x) наз-ся однородной ф-ей степени р, если вып.: Q.

Th. Эйлера об однородных ф-ях: -однородная ф-я степени р в обл-ти Q. Тогда:

Q

при t=1;

Инвариантность формы первого дифференциала:

-диффер. в т-ке

- диффер. в т-ке

-если -незав. переем-ые

Свойства диф-ла

1)d(cu)=c(du)

2)d(u+-v)=du+-dv

3)d(uv)=vdu+udu

4)d(u/v)=(vdu-udv)/v^2

Док-во 4. w=u/v, dw=(dw/du)*du+(dw/dv)dv=(1/v)*du-(u/v^2)dv=(vdu-udv)/v^2

Производная по направлению: -единичный вектор направления. u=

Опр.: Производная сложной ф-ции по переменной t, взятая в т-ке , наз. производной ф-ей по направлению в т-ке

Градиент: Градиентом ф-ции в т-ке М наз-ся вектор ,

Th. О производной ф-ции по направлению градиента:

Производная функции u=f(x, y, z) в т. Мо по направлению градиента этой функции в точке Мо имеет максимальное значение, равное длине вектора градиента |grad u| в указанной точке Мо.

, где -угол между grad u() и

=1.Т.е.совпадает.

Вопрос 11.

Частные производные высших порядков:

Q j произв. от i-ой произв.по f наз. 2-ой произ-ой по переменным i и j. если

Th.чтобы была К раз диф-ма в т.Мо,дост. чтобы все её произв.К-го п-ка были непрер в т.Мо

Th. О равенстве частных производных, дважды дифференцируемой ф-ции в т-ке:

Пусть ф-ция 2-жды диффер. в т-ке . Тогда в т-ке

-диффер. в т-ке

, где - б.м.п.,при , где -б.м. при

Достаточное условие равенства смешанных произ-х (случай ф-ции 2-х пер-х):

-непрер.в т-ке

,-б.м.ф. при ,где-б.м.ф.при

Достаточное условие равенства смешанных произ-х (случай ф-ции n пер-х):

-m раз диф. в т-ке значение смешанной производной порядка m не зависит от порядка дифференцирпования

Дифференциалы высших порядков: -диффер. в т-ке

Вопрос 12.

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа: т. в некотор. Окр-ти т-ки и в т-ке ф-ция диф. (m+1) раз, где N-пром. Т-ка из окр-ти т-ки .

или

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано: ф-ция u=f(x) диф. m раз в некотор. Окр-ти т-ки

_- Для ф-ции EMBED Equation.3 от n переменных m раз непрерывно диффер-ой в окр-ти т-ки EMBED Equation.3 ф-ла Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.