![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Остальные аналогично.
- •Остальные аналогично.
- •Вопрос 9.
- •Вопрос 10.
- •Вопрос 11.
- •Вопрос 12.
- •Вопрос 13. Понятие локального экстремума. Необходимое условие локального экстремума.
- •Вопрос 14. Достаточное условие локального экстремума.
- •Вопрос 15. Понятие условного экстремума. Метод множителей Лагранжа. Необходимое условие условного экстремума.
- •Вопрос 16 Достат. Усл-я условного экстремума.
- •Вопрос 17.
- •Вопрос 18
- •Вопрос19
- •Вопрос 20
- •Вопрос 22
- •Вопрос 24
- •Вопрос 25. Геометрические приложения двойных интегралов а) вычисление площадей б) вычисление объемов в) вычисление площадей поверхностей
- •Вопрос 26. Тройной интеграл. Переход к повторному интегралу (без д-ва). Замена переменных (без д-ва), цилиндрич. И сферич. Система координат.
- •Вопрос 28. Криволинейный интеграл 2-го рода; его свойства.
- •Вопрос 30. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования.
- •Вопрос 34. Ортогональная тригонометрическая система. Ряд Фурье для абсолютно интегрируемой на [-;] ф-ции; ряд Фурье для четной и нечетной ф-ции. Ряд Фурье в случае произвольного интервала.
Билет 1
Предел последовательности точек пространства Rn.(?) Лемма о сходимости последовательности точек в пространстве Rn; фундаментальная последовательность точек в Rn. Лемма о фундаментальной последовательности; критерий Коши сходимости последовательности точек пространства Rn. Теорема Больцано - Вейерштрасса.
Опр: n – мерным координатным пространством называется совокупность всех упорядоченных наборов вида (х1, х2, … , хn), где хi є R, i = 1 … n.
х = (х1, …, хn), у = (у1, …, уn) …
Опр: Последовательностью точек в пространстве Rn, называется отображение множества натуральных чисел в пространстве Rn (т.е N -> Rn).
х1 -> х(1) = (х1(1), х2(1), … ,хn(1)) … хк -> х(к) = (х1(к), х2(к), … ,хn(к))
Опр: Последовательность {х(к)}
є Rn
сходится к точке х(0)
Rn,
если для
ε
> 0 N:
для
к
≥ N выполняется (х(к),
х(0)) < ε т.е.
.
(
)
Лемма о
сходимости последовательности
точек в пространстве Rn:
Последовательность {х(к)} є Rn
сходится к точке х(0)
Rn <=>
каждая из числовых последовательностей
{х1(к)}, {х2(к)}, …,
{хn(к)} сходится
соответственно к числам х1(0),
х2(0), …, хn(0).
Доказательство:
1)
2)
- - - - - - - - - -
N = max {N1,
N2, …, Nn}
следовательно
Опр: Последовательность {х(к)}
є Rn
называется фундаментальной, если для
Лемма о фундаментальной последовательности: Последовательность {х(к)} є Rn является фундаментальной (последовательностью Коши) <=> каждая из последовательностей {х1(к)}, {х2(к)}, …, {хn(к)} является фундаментальной.
Доказательство:
1) {х(к)} – фундаментальная
последовательность => (по определению)
для
,
следовательно
2)
{х1(к)} – фундам. посл. =>
{х2(к)} – фундам. посл. =>
- - - - - - - - - -
{хn(к)} – фундам.
посл. =>
N = max {N1,
N2, …, Nn}
следовательно
=> {х(к)} – фундаментальная
последовательность.
Критерий Коши сходимости последовательности точек пространства Rn: Последовательность {х(к)} є Rn сходится <=> она является фундаментальной.
Доказательство:
1) Последовательность {х(к)} фундам. => {х(к)} – сходится
{х(к)} – фундам. => {хi(к)}
(i
= 1…n) - фундам. =>
- противоречие (по кр. Коши сходимости
числовой последовательности).
2) {хi(к)} сходится к точке х(0) => {хi(к)} сходится к числу хi(0), i = 1…n => {хi(к)} (i = 1…n) – фундам. => {х(к)} – фундаментальная последовательность.
Опр: Последовательность {х(к)}
є Rn
называется ограниченной, если
и
для
Доказательство:
{х(к)} є Rn
Пусть k1, k2, …, k3, … - произвольная строго возр. Последовательность
x(k1), x(k2), …, x(ki), …
{х(ki)} – подпоследовательность последов. {х(к)}
{х(ki)} < {х(k)}
Теорема Больцано – Вейерштрасса: Из любой ограниченной в Rn последовательности {х(k)} можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Доказательство:
{х(к)} – ограниченная в Rn
посл. =>
т.е.
=> для
вып.
=> {хi(k)}
– ограниченная числовая последовательность,
i = 1…n
=>
,
,
- - - - - - - - - -
Следовательно {х1(kin)}, {х2(kin)}, …, {хn(kin)} – сходящиеся подпоследовательности.
Билет 2
Предел функции n переменных в точке по Гейне и по Коши, эквивалентность этих определений. Арифметические операции над функциями, имеющими предел. Бесконечно малые функции n переменных.
Опр. предела по Гейне: Функция
f(x1,
…, xn)
имеет в точке x(0) =
(x1(0), …,xn(0))
предел, равный b, если для
{x(k)}
и
т.е
Опр. предела по Коши: Функция
f(x1,
…, xn)
имеет в точке x(0) =
(x1(0), …,xn(0))
предел, равный b, если для
,
Эквивалентность определений по Гейне и по Коши: Пусть b – предел функции f(x) в точке x(0) по Гейне => b – предел функции по Коши.
Доказательство:
1) Пусть b – не является
пределом функции f(x)
по Коши т.е.
такое,
что
Пусть
,
тогда
Получаем
,
=>
2) Пусть b – предел функции f(x) в точке x(0) по Коши => b – предел функции по Гейне.
b – предел функции по Коши
=>
для
=>
=>
Арифметические
операции над функциями, имеющими предел:
Пусть
и
,
тогда:
Доказательство:
-
выполняется
,
-
Остальные аналогично.
Опр:
Функция f(x)
называется бесконечно малой в точке
x(0),
если
Утв:
Пусть
,
тогда
Доказательство:
Обозначим
=>
Следовательно
=>
т.е.
Билет 3
Критерий Коши существования предела функции n переменных в точке.
Опр:
Функция
f(x)
удовлетворяет условию Коши в точке
x(0),
если для
Критерий Коши существования предела функции в точке: Функция f(x) имеет предел в точке x(0) <=> она удовлетворяет условию Коши в этой точке.
Доказательство:
1)
Пусть
=> f(x)
удовлетворяет условию Коши в точке x(0)
=>
Пусть
Следовательно
2)
Функция
f(x)
удовлетворяет условию Коши в точке x(0)
=>
Пусть
=>
Функция
f(x)
удовлетворяет условию Коши в точке x(0)
=>
Для
Для
Следовательно
Для
=>
=>
Пусть
Пусть
b
= b’,
тогда
Следовательно
Билет 4
Повторные пределы. Теорема о существовании повторного предела.
f(x1,
…, xn);
; u = f(x,
y); |x - x0|
< d1, |y
– y0| < d2
Опр:
Пусть
для любого фиксированного y:
|y – y0|
< d2
,
тогда
Теорема о существовании повторного предела: Функция u = f(x, y): |x - x0| < d1, |y – y0| < d2
-
-
Для
Тогда
Доказательство:
Т.к.
=>
выполняется
.
Следовательно
=>
=>
=>
Отсюда
для
=>
Зам:
Для
,
тогда
Билет 5
Непрерывность функции нескольких переменных в точке. Арифметические операции над непрерывными функциями. Непрерывность сложной функции. Теорема об устойчивости знака непрерывной в точке функции. Теорема о прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение.
Опр
(формальное):
Функция y
= f(x)
= f(x1,
x2,
…, xn)
непрерывна
в точке x(0)
= (x1(0),
x2(0),
…, xn(0)),
если
Опр
1:
Функция f(x)
непрерывна в точке x(0),
если для
и
Опр
2:
Функция f(x)
непрерывна в точке x(0),
если для
Доказательство:
y = f(x) = f(x1, x2, …, xn), x(0) = (x1(0), x2(0), …, xn(0)) => y = f(x1(0), x2(0), …, xk, …, xn(0)
Если
,
то f(x1(0),
x2(0),
…, xk,
…, xn(0))
– непрерывна по k-той
переменной.
Теорема: Пусть функция f(x) непрерывна в точке x(0), тогда f(x) непрерывна в точке x(0) по каждой переменной.
Доказательство:
Функция
f(x)
непрерывна в точке x(0)
=>
f(x1(0),
x2(0),
…, xk,
…, xn(0))
=> для
=> f(x)
непрерывна в точке x(0)
по каждой переменной.
Арифметические операции над непрерывными функциями:
Функции f(x) и g(x) непрерывны в точке x(0) = (x1(0), x2(0), …, xn(0)) =>
Доказательство:
-
, тогда
-
Остальные аналогично.
Непрерывность
сложной функции:Функция
y
= f(x1,
x2,
…, xn)
непрерывна в точке x(0)
= (x1(0),
x2(0),
…, xn(0))
т.е.
тогда
Доказательство:
Функция
f(x1,
x2,
…, xn)
непрерывна в точке x(0)
=>
=>
Т.е.
=>
Т.е.
- - - - - - - - - -
=>
Т.е.
тогда
все в порядке
Теорема
об устойчивости знака…
:
Функция y
= f(x1,
x2,
…, xn)
непрерывна в точке x(0)
= (x1(0),
x2(0),
…, xn(0)),
=> существует окрестность точки x(0)
в которой функция сохраняет свой знак.
Доказательство:
Функция
f(x1,
x2,
…, xn)
непрерывна в точке x(0)
=>
т.е.
=>
- окрестность точки x(0)
в которой функция сохраняет свой знак.
Теорема
о прохождении … через промежуточное
значение:
Функция y
= f(x1,
x2,
…, xn)
непрерывна во всех точках связанной
области Q
точки
:
f(A)
и f(B)
– значения функции в точках A
и B.
Пусть
C
– любое число заключенное между f(A)
и f(B),
тогда на любой непрерывной кривой
найдется точка
.
Доказательство:
Пусть L – непрерывная кривая соединяющая точки A и B.
- непрерывные функции переменной
;
значении функции на концах отрезка
соответствуют значениям функции f(A)
f(B).
A = (a1,
…, an),
B = (b1,
…, bn):
,
-
непрерывная функция на отрезке
,
=>
=>
=> функция проходит через промежуточное
значение C.
Билет 6
Первая теорема Вейерштрасса (об ограниченности функции, непрерывной на компакте).
Опр: Компакт – ограниченное замкнутое множество
Первая теорема Вейерштрасса: Пусть f(x1, …, xn) непрерывна на ограниченном замкнутом множестве Q, тогда f(x1, …, xn) – ограничена на множестве Q.
Доказательство:
Пусть
f(x1,
…, xn)
не является ограниченной на Q
функцией => для
;
;
Т.к. f(x)
непрерывна на Q
.
Следовательно
=> f(x1,
…, xn)
является ограниченной на Q
функцией.
Билет 7
Вторая теорема Вейерштрасса (о достижении непрерывной на компакте функцией своих точных граней).
Опр:
Число
называется верхней гранью функции f(x),
если:
-
Для
-
Для
(?)
Для нижней грани аналогично.
Вторая теорема Вейерштрасса: Функция f(x1, …, xn) непрерывная на ограниченном замкнутом множестве Q достигает своих верхней и нижней граней.
Доказательство:
Пусть f(x1,
…, xn)
не достигает своей
верхней грани
на множестве Q
=> для
Рассмотрим вспомогательную функцию
;
F(x) –
определена и непрерывна в
=> по первой теореме Вейерштрасса
F(x)
– ограничена т.е.
;
;
;
=>
-
не является верхней гранью.
Билет 8
Равномерная непрерывность функции нескольких переменных.(?) Теорема Кантора о равномерной непрерывности функции, непрерывной на компакт**
Опр: Функция f(x)
равномерно непрерывна на множестве Q,
если для
для
Теорема Кантора: Функция непрерывная и ограниченная на компакте равномерно непрерывна на нем.
Доказательство:
f(x1, …, xn) непрерывна на компакте Q.
Пусть f(x1,
…, xn)
не является равномерно непрерывной на
Q =>
;
=>
;
=>
.
Следовательно для
-противоречие т.к.
=> f(x1,
…, xn)
- равномерно
непрерывна на компакте.