1. Электростатика Значение учения об электромагнетизме для инженеров

Все вещества состоят из заряженных частиц: электронов и ядер атомов. Электромагнитное взаимодействие между ними преобладает, так как гравитационные силы на много порядков слабее, а ядерные не простираются за пределы ядер. Именно электромагнитное взаимодействие лежит в основе микроскопических свойств вещества, объясняет его реакцию на внешние электрические и магнитные поля, может служить инструментом воздействия на различные среды в технологических процессах, позволяет осуществлять преобразование одних видов энергии в другие, лежит в основе передачи информации в пространстве, а также от одного элемента к другому в радиоэлектронной и вычислительной аппаратуре и т.д. Поэтому практически нет инженерной специальности, для которой знания в области электричества и магнетизма не относились бы к профессионально значимым. Более того, многие инженерные специальности возникли в результате непосредственного применения на практике тех или иных законов электродинамики: это электромеханика, энергетика, радиотехника, электроника и т.д. Для представителей таких специальностей раздел «Электричество и магнетизм» имеет особую профессиональную значимость.

Данный раздел важен для инженера еще и потому, что, будучи насыщенным математическими обоснованиями и доказательствами, он дает прекрасную основу для развития навыков математического мышления, что важно для инженера любой специальности. Раздел учит также конструировать упрощенные модели математических объектов. Здесь используются и обсуждаются такие модели, как точечный заряд, сплошная диэлектрическая среда, идеальный проводник и т.п. Наконец, в разделе последовательно используется метод индукции – переход от частных закономерностей к общим законам. Все это позволяет совершенствовать элементы творческого мышления.

Велика роль раздела и в формировании представлений об окружающем нас мире. Его основу составляют две формы материи: вещество и поле. Наши ощущения лучше приспособлены для восприятия свойств вещества. Полевую форму материи мы познаем в основном через абстрактные физические теории. Теория электричества и магнетизма дает представление об одной из полевых форм материи – электромагнитном поле.

1.1. Основные формулы

Закон сохранения заряда в замкнутой системе

.

Закон Кулона

(в вакууме), (в среде),

где F – сила взаимодействия двух точечных зарядов q₁ и q₂; r – расстояние между зарядами; ₀ = 8,8510^–12 Ф/м – электрическая постоянная;  – диэлектрическая проницаемость среды.

Напряженность электростатического поля

,

где – сила, действующая на точечный положительный заряд q₀, помещенный в данную точку поля.

Напряженность электростатического поля точечного заряда q на расстоянии r от заряда

.

Поток вектора напряженности электрического поля (сквозь площадку dS), (сквозь поверхность S), (сквозь замкнутую поверхность S), где – вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с нормалью к площадке; Е_n – проекция вектора на нормаль к площадке dS.

Принцип суперпозиции электростатических полей

,

где – напряженность поля, создаваемого зарядом q_i.

Плотность зарядов (линейная, поверхностная, объемная):

.

Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме:

– в случае дискретного распределения зарядов

;

– в случае непрерывного распределения зарядов

,

где – алгебраическая сумма зарядов, заключенных внутри замкнутой поверхности S, n – число зарядов,  – объемная плотность зарядов.

Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной бесконечной плоскостью

,

где  – поверхностная плотность заряда.

Напряженность поля, создаваемого двумя бесконечными параллельными разноименно заряженными плоскостями

,

где  – поверхностная плотность заряда.

Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной сферической поверхностью радиусом R с общим зарядом q на расстоянии r от центра сферы

при r < R (внутри сферы);

при (вне сферы).

Напряженность поля, создаваемого объемно заряженным шаром радиусом R с общим зарядом q на расстоянии r от центра шара

при (внутри шара);

при (вне шара).

Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженным бесконечным цилиндром радиусом R на расстоянии r от оси цилиндра

при r < R (внутри цилиндра);

при (вне цилиндра),

где  – линейная плотность заряда.

Циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль замкнутого контура

,

где E_l – проекция вектора на направление элементарного перемещения . Интегрирование производится по любому замкнутому пути L.

Потенциальная энергия заряда q₀ в поле заряда q на расстоянии r от него

.

Потенциал электростатического поля

, ,

где q₀ – точечный положительный заряд, помещенный в данную точку поля; U – потенциальная энергия заряда q₀; – работа перемещения заряда q₀ из данной точки поля за его пределы.

Потенциал электростатического поля точечного заряда на расстоянии r от заряда

.

Связь между напряженностью и потенциалом электростатического поля

,

где – единичные векторы координатных осей. Знак минус определяется тем, что вектор поля направлен в сторону убывания потенциала.

В случае поля, обладающего центральной или осевой симметрией,

.

Работа, совершаемая силами электрического поля при перемещении заряда q₀ из точки 1 в точку 2

,

где E_l – проекция вектора на направление элементарного перемещения .

Разность потенциалов между двумя точками 1 и 2 в электростатическом поле

,

где A₁₂ – работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда q₀ из точки 1 в точку 2; Е_l – проекция вектора на направление элементарного перемещения ; интегрирование производится вдоль любой линии, соединяющей начальную и конечную точки, так как работа сил электростатического поля не зависит от траектории перемещения.

Разность потенциалов между точками, находящимися на расстоянии х₁ и х₂ от равномерно заряженной бесконечной плоскости

,

где  – поверхностная плотность заряда.

Разность потенциалов между бесконечными разноименно заряженными плоскостями, расстояние между которыми равно d

Разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r₁ и r₂ от центра равномерно заряженной сферической поверхности (объемно заряженного шара) радиусом R с общим зарядом q, причем r₁ > R, r₂ > R, r₂ >r₁

Разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r₁ и r₂ от центра объемно заряженного шара радиуса R с общим зарядом q, причем r₁ < R, r₂ < R, r₂ >r₁

Разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r₁ и r₂ от оси равномерно заряженного с линейной плотностью  бесконечного цилиндра радиуса R, причем r₁ > R, r₂ > R, r₂ >r₁

Поляризованность диэлектрика

,

где V – объем диэлектрика; – дипольный момент i-ой молекулы.

Связь между поляризованностью диэлектрика и напряженностью электростатического поля

,

где  – диэлектрическая восприимчивость вещества; ₀ –электрическая постоянная.

Связь диэлектрической проницаемости  с диэлектрической восприимчивостью 

Связь между напряженностью Е поля в диэлектрике и напряженностью Е₀ внешнего поля

,

где P – поляризованность,  – диэлектрическая проницаемость.

Связь между векторами электрического смещения , напряженности электростатического поля и поляризованности

Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике

,

где – алгебраическая сумма заключенных внутри замкнутой поверхности S свободных электрических зарядов; D_n – проекция вектора на нормаль к площадке , – вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с нормалью к площадке.

Условия на границе раздела диэлектрических сред (проницаемость которых ₁ и ₂) при отсутствии на границе свободных зарядов:

,

где , D_ и E_n, D_n – тангенциальные и нормальные составляющие векторов и соответственно.

Напряженность электростатического поля у поверхности проводника

,

где  – поверхностная плотность зарядов,  – диэлектрическая проницаемость среды, окружающей проводник.

Электроемкость уединенного проводника

,

где q – заряд, сообщенный проводнику;  – потенциал проводника.

Электроемкость шара радиусом R

Электроемкость конденсатора

,

где q – заряд, накопленный в конденсаторе; (₁ – ₂) – разность потенциалов между его пластинами.

Электроемкость плоского конденсатора

,

где S – площадь каждой пластины конденсатора; d – расстояние между пластинами.

Электроемкость сферического конденсатора

,

где r₁ и r₂ – радиусы концентрических сфер.

Электроемкость цилиндрического конденсатора

,

где l – длина пластин конденсатора; r₁ и r₂ – радиусы полых коаксиальных цилиндров.

Энергия уединенного заряженного проводника

,

где C, q,  – электроемкость, заряд и потенциал проводника соответственно.

Энергия заряженного конденсатора

,

где q – заряд конденсатора, С – его электроемкость,  – разность потенциалов между пластинами.

Сила притяжения между двумя разноименно заряженными обкладками конденсатора

,

где q – заряд конденсатора;  – поверхностная плотность заряда; S – площадь пластины конденсатора; Е – напряженность электростатического поля; ₀ – электрическая постоянная;  – диэлектрическая проницаемость.

Энергия электростатического поля плоского конденсатора

,

где S – площадь сечения одной пластины; U – разность потенциалов между пластинами; V = Sd – объем конденсатора.

Объемная плотность энергии электростатического поля

,

где E – напряженность электростатического поля; D – электрическое смещение.