6.7. Формула включень і виключень

Нехай – дві скінченні множини. Якщо , то . Нехай тепер . Тоді в кожний елемент з буде врахований двічі, і це треба виправити.

Тому

,

(6.4)

тобто кількість елементів в об'єднанні множин виражено через кількість елементів у їх перерізі. Маємо відповідну формулу для довільного числа множин, яка називається формулою включень і виключень.

Твердження 6.10. Нехай – скінченні множини, . Тоді

(6.5)

Наслідок 6.1. Нехай – скінчена множина, – підмножини . Тоді

(6.6)

Наведемо ще одну форму запису формули включень і виключень. Нехай – скінчена множина, що складається з елементів, – деякі властивості, які можуть мати або не мати елементи з . Позначимо через – множину елементів в , що мають властивість . Позначимо також

– кількість елементів в , які мають одночасно властивості, ; – кількість елементів в , що не мають жодної з властивостей . Тоді за формулою (6.6) отримаємо

,

(6.7)

де .

Приклад 6.21. Нехай , тобто задано три властивості: . Тоді з (6.7) отримуємо:

(6.8)

Приклад 6.22. Нехай . Підрахуємо кількість елементів у , які не мають властивостей . Використовуючи формулу (6.8), отримуємо =11-6- 4-5+2+2+1-0=1 (неважко бачити, що єдиним елементом в , який не має властивостей , є число 1).

Приклад 6.23. (Задача про безладдя). Задано різних предметів і різних кліток . Скількома способами можна розмістити предмети по клітках так, щоб ніякий предмет не попав у клітку ?

Як початкову множину візьмемо сукупність всіляких розміщень предметів по клітках. Тоді . Уведемо властивості : « знаходиться в клітці », . Число розміщень, при якому предмет знаходиться в клітці , , дорівнює Але тоді

.

Використовуючи формулу включень і виключень (6.7), отримуємо, що кількість розміщень, при якому жодна з властивостей не виконується (тобто жоден з предметів не попав у клітку ), дорівнює

.

Контрольні запитання

1. Скількома способами можна вибрати 1 фрукт з 4 попарно різних яблук і 3 різних груші?

2. До вершини гори йдуть 6 різних доріг. Скільки існує різних маршрутів підйому та спуску?

3. Першість виборюють 12 команд. Скількома способами можуть бути розподілені золоті, срібні та бронзові медалі?

4. Є декілька доріг з пункту А в пункт В через пункт С або Д (рис.6.5)

Скільки існує різних маршрутів з пункту А в пункт В?

5. Є 4 конверти і 3 марки однакової ціни. Треба відправити один лист. Скільки існує варіантів?

6. Скількома способами можна вибрати 1 голосну і одну приголосну з слова „першість”?

7. Скількома способами можна вибрати 2 книги з 4-ох?

8. В шаховому турнірі брали участь 10 шахістів. Кожна пара зустрілася один раз. Скільки відбулося партій.

9. Скільки є чотири знакових чисел, у яких кожна наступна цифра менше за попередню?

10. Є 10 білих і 8 чорних куль. Скількома способами можна викласти у низку всі кулі так, щоб ніякі дві чорні кулі не були рядом?

11. Є п’ять ораторів. Скількома способами можна скласти список, якщо оратор В має виступати після А?

12. Скількома способами можна призначити місця за столом, що має форму кола, для n гостей?

13. Є 6 жінок і 6 чоловіків. Скількома способами можна посадити 12 осіб за стіл, що має форму кола, таким чином, що ніякі дві особи однієї статі не сидять (рядом)?

14. Скількома способами можна розташувати 8 тур одного кольору так, щоб вони не були під “боем” одна у одної.

15. Скільки різних слів можна отримати, якщо переставляти букви в слові “мама”?

16. Скільки різних слів можна отримати, якщо переставляти букви в слові “словосполучення”?

17. Скільки різних слів можна отримати, якщо переставляти букви в слові “синхронізація”?

18. Скільки різних слів, які містять шість літер, можна скласти із букв г, у, д, якщо має бути, що буква г зустрічається в цьому слові не більше двох разів, у – не більше трьох разів, д – не більше одного разу.

19. Скількома способами можна розташувати m+n+k прікметів на три групи, щоб в першої групи були m прікметів, в другої – n прікметів, в третьої – k прікметів?

20. Скількома способами можна поділити 4 k різних прікметів між 4 осіб в такий спосіб, що кожному дісталося рівно k прікметів?

21. Скільки існує чотирьохзначних десяткових чисел?

22. Скільки непарних чисел можна скласти з цифр числа 5732 (кожну цифру використовувати не більше за один раз)?

23. Скільки існує шестизначних чисел, у яких три цифри парні, а три непарні?

24. Скількома способами можна переставити букви в слові “коронований”, якщо ніякі дві букви “о” не мають бути поряд розташовані?

25. Скількома способами можна переставити букви у слові “пароплав”, якщо дві приголосні не мають бути поряд розташовані?

26. Із 100 студентів англійською володіють 42 студентів, німецькою - 30, французькою – 28, французькою і німецькою – 8, англійської і французькою – 10, англійською і німецькою – 5, всіма трьома мовами – 3 студента. Скільки студентів не володіють жодною іноземною мовою?

27. Скільки чисел від 1 до 100 не ділиться на 2?

28. Скільки чисел від 1 до 100 не ділиться на 3?

29. Скільки чисел від 1 до 100 не ділиться на 5?

30. З колоди, що складаються із 52 карт, вибрали 10 карт. Визначити, у скількох випадках серед них виявляється: а) пікова дама; б) всі чотири королі; в) всі карти однієї масті; г) жодного туза; д) рівно один туз; е) хоча б один туз; ж) рівно два тузи.

31. Є монети по 1, 2, 3 коп.; Всього 20 монет. Скільки існує різних комбінацій монет?

32. Визначити кількість цілочисельних розв’язків системи x₁+x₂+x₃=40, x₁≥3, x₂≥0, x₃≥2.

33. Скількома способами групу з 25 чоловік можна поділити на 7 коаліцій: дві – по п’ять чоловік, одна – сім чоловік, чотири – по два чоловіки?

34. Визначити кількість цілочислових розв’язків системи x₁+x₂+x₃=40, 4≤x₁≤15, 9≤x₂≤18, 5≤x₃≤16.

35. Визначити кількість шестизначних чисел, в яких сума перших трьох цифр збігається з сумою останніх трьох цифр.

36. Складається намисто з плоских намистин трьох кольорів, забарвлених однаково з обох боків. Кожне намисто складається з шести намистин. Визначити кількість різного намиста.