6.5. Розміщення і функціональні відображення

Позначимо через множину всіх відображень .

Твердження 6.5. Нехай . Тоді

.

Нехай . Тоді будь-яке відображення можна подати у вигляді впорядкованої послідовності значень функції у точках з , де . Очевидно, що цим самим установлено взаємно однозначну відповідність між множиною функціональних відображень та множиною впорядкованих вибірок із повтореннями обсягом із множини обсягом (тобто множиною -перестановок з елементів із повтореннями), звідки випливає правильність твердження 6.5.

Аналогічно доводиться таке твердження.

Твердження 6.6. Нехай . Тоді число всіх ін’єктивних відображень вигляду дорівнює .

Наслідок 6.1. Для – множини всіх бієктивних відображень -елементної множини в себе маємо .

Розглянемо деякі приклади застосування наведених формул.

Приклад 6.13. Задано квадрат, розділений на чотири частини (рис.6.3). Скількома способами можна розфарбувати квадрат п’ятьма кольорами: а) допускаючи фарбування різних частин в один колір; б) якщо різні частини забарвлюються різними кольорами.

Для розв’язання будемо розглядати кожне розфарбування як функціональне відображення множин номерів частин квадрата у множину кольорів , де . Тоді, використовуючи твердження 6.5 і 6.6, маємо: а) ; б) .

Приклад 6.14. Знайти, скількома способами можна вибрати 5 номерів із 36.

Розв’язком буде число (36, 5)-сполучень. Знаходимо, що число способів .

Приклад 6.15. У скількох випадках при грі в «Спортлото» (угадування 5 номерів із 36) будуть правильно вибрані: а) рівно 3 номери; б) рівно 4 номери; в) рівно 5 номерів; г) не менш як 3 номери?

Маємо: а) 3 правильних номери з 5 можна вибрати способами, а 2 неправильних номери, що залишилися, – способами. Далі за правилом множення визначаємо, що шукане число дорівнює . В інших випадках відповідно знаходимо: б) ; в) 1; г) .

Приклад 6.16. З колоди у 52 карти вибираються 10 карт. У скількох випадках серед них виявляться всі 4 тузи?

Виключивши з розгляду тузи, дістанемо, що вибираються 6 карт із 48, а такий вибір можна здійснити способами.

Приклад 6.17. Нехай є монети вартістю 1, 2 і 3 коп. Скільки існує різних комбінацій 30 монет (наприклад, набори: 13 монет по 1 коп., 7 — по 2 коп., 10 — по 3 коп.)?

За умовою задачі потрібно визначити кількість (3, 30)-сполучень із повтореннями. Використовуючи твердження 6.4, визначаємо, що шукане число .

6.6. Розбиття

Підрахуємо число розбиттів скінченої множини , де , на підмножин , таких, що кожне містить елементів, тобто де , а

при . (6.1)

Нехай для деяких номерів матимемо . Число зазначених розбит­тів при фіксованих позначимо через .

У цьому випадку набір підмножин множини Х у розбитті є впорядкованим (тобто – впорядкована послідовність множин). Нижче, розглядається випадок, коли набір підмножин у розбитті не є впорядкованим.

Твердження 6.7. .

Очевидно, кожну з множин Х_i можна розглядати як сполучення без повторень.

Для утворення сполучення, що відповідає множині , можуть бути використані всі елементи множини , тобто множина може бути вибрана способами. Після вибору множина може бути вибрана способами (оскільки є підмножиною множини та ), і для будь-якого , де , після вибору множин множина може бути вибрана способами. Проте тоді за правилом добутку вибір упорядкованої послідовності множин , які задовольняють (6.1), можна здійснити способами.

Використовуючи цей вираз, а також твердження 6.2 і зробивши необхідні скорочення, дістанемо.

.

Ми дістали формулу, яка співпадає з формулою перестановок з повтореннями, за специфікацією . Це не випадково. Кожній перестановці з повтореннями можна поставити у відповідність впорядковані розбиття множини номерів елементів в перестановці на підмножині , де – множина номерів елементів -го вигляду в перестановці. Очевидно, що така відповідність між перестановками з повтореннями й розбиттям є взаємооднозначною.

Твердження 6.8. Число , де , , дорівнює числу перестановок елементів зі специфікацією , серед елементів яких міститься елементів першого типу, елементів другого типу і т. д. аж до елементів -го типу.

Кожній перестановці зазначеного типу поставимо у відповідність розбиття множини номерів елементів у вибірці на підмножини , де – множина номерів елементів -го типу у вибірці. Очевидно, при цьому виконується рівність (6.1).

Зазначена відповідність між перестановками заданого типу і розбиттями, які задовольняють (6.6), є взаємно однозначною, звідки завдяки твердженню 6.7 випливає правильність твердження 6.8.

Вище зазначене розбиття можна інтерпретувати у термінах „кошиків” і „куль”. Наведемо елементи початкової множини „кулями”, . Під розбиттям множини (зараз множина куль), на непересічні підмножини будемо вважати розташування куль по різних кошиках (перший, другий, ..., -й):

– куль – в перший кошик ,

– куль – в перший кошик ,

...

– куль – в -й кошик , де .

Як ми встановили, кількість таких розташувань

.

Приклад 6.18. В академічної групи студентів є 25 осіб. Відбувалися вибори старости Розова О. „За” проголосували 18 осіб, „Проти” – 3, „Утримались” – 4. Скількома способами може бути здійснено таке голосування?

Застосуємо інтерпретацію „куль” і „кошиків”. Є три різні кошики: „за”, „проти”, „утримались”. У них треба розташувати 25 куль:

в першу – 18;

в другу – 3;

в третю – 4. Кількість таких розташувань

.

Приклад 6.19. Скількома способами [1] можна розфарбувати квадрат, поділений на дев'ять частин (рис.6.4), чотирма кольорами таким чином, щоб у перший колір були забарвлені 3 частини, у другий - 2, у третій - 3, у четвертий - 1?

Рис.6.4

Нехай – множина кольорів, де . Тоді кожне розфарбування, що розглядається як послідовність кольорів, в які забарвлюються пронумеровані частини квадрата, є перестановкою 9 елементів зі специфікацією. При цьому нас цікавлять перестановки із заданою комбінацією елементів (3 елементи – перший колір, 2 – другий, 3 – третій, 1 – четвертий). Проте тоді, використовуючи твердження 6.8, дістаємо, що шукане число дорівнює

.

Підрахуємо тепер, скількома способами можна розбити множину , де , на підмножини, серед яких для кожного існують підмножин з елементами, де . При цьому, на відміну від розглянутого раніше випадку, тут набір підмножин у розбитті не є впорядкованим (тобто порядок підмножин розбитті не є суттєвим). Так, розбиття множини вигляду

;

;

.

вважаються однаковими. Позначимо число невпорядкованих розбиттів множини через .

Твердження 6.9 .

Зазначимо, що кожне з неупорядкованих розбиттів, розглянутих при визначенні величини , можна, нумеруючи множини в цьому розбитті, привести способами до впорядкованих розбиттів вигляду:

(6.2)

де

(6.3)

При цьому об'єднання попарно непересічних множин розбиття, що утворюється таким чином, вигляду (6.7), (6.8) для всіх неупорядкованих розбиттів, які розглядаються, дає сукупність всіх розбиттів вигляду (6.7), (6.8), а отже, за правилом суми, використовуючи твердження 6.7, маємо: (де підсумовування проводиться за всіма неупорядкованими розбиттями, які розглядаються), звідки і випливає:

.

Приклад 6.20. Скількома способами з групи в 25 осіб можна сформувати 5 коаліцій по 5 осіб?

Нехай – множина осіб у групі, – число коаліцій по осіб, де . Тоді за умовами задачі , а отже, шукане число.