6.2. Вибірки, перестановки, сполучення.

Означення 6.1. Набір елементів із множини називається вибіркою обсягом , або -вибіркою.

Означення 6.2. Вибірка -елементів називається -перестановкою (або -розміщенням), якщо враховується порядок слідування елементів, і -сполученням, якщо беруться до уваги тільки елементи без урахування їхнього порядку.

-перестановка з різних елементів є просто перестановкою.

Приклад 6.3. Для множини розрізняють шість 3-перестановок, утворених з одних і тих самих елементів: , , , , , ; водночас ці вибірки є різними записами одного й того самого 3-сполучення елементів .

Твердження 6.1. Число -перестановок з елементів

.

Доведемо це твердження. Кожна -перестановка є впорядкованою послідовністю завдовжки , члени якої – попарно різні й вибираються з -елементної множини. Тоді перший член цієї послідовності може бути вибраний способами, після кожного вибору першого члена послідовності другий – способами і т. д. Відповідно після кожного вибору першого, другого і т.д. аж до -го членів послідовності -й член може бути вибраний способами, звідки за узагальненим правилом добутку дістаємо наведену вище формулу.

Число перестановок з елементів позначимо . Очевидно, що .

Приклад 6.4. Нехай є 5 різних книг. Скількома способами можна розташувати ці книги на бібліотечній полиці. За формулою це способи.

Позначимо число -сполучень з елементів через . Щоб знайти , задамося питанням, скільки -перестановок можна утворити з кожного -сполучення. Очевидно, що . Тому шукане число буде в разів меншим, ніж число -перестановок з елементів, а саме

.

Приклад 6.5. Для множини з чотирьох елементів кількість 3-сполучень

.

Перелічимо їх: .

означають ще . Очевидно, що .

Вибірки можуть допускати і не допускати повторення елементів. При -вибірках з повторенням розрізняють два випадки:

1. запас елементів, що повторюються, обмежений;

2. запас елементів, що повторюються, необмежений.

Розглянемо їх окремо.

1. Нехай Запас елементів, що повторюються, обмежений і визначається специфікацією , де – кількість елементів -го вигляду, тобто елемент 1-го вигляду може повторятися разів, елемент 2-го рангу вигляду може повторятися разів, ..., елемент -го вигляду може повторятися разів. Загальне число елементів початкової множини , причому . Кожний вигляд можна розглядати як клас еквівалентності, елементи якого вважаються нерозрізнюваними і позначаються однаковими номерами або символами. Сукупність позначень різних класів утворює сукупність представників;

2. Нехай запас елементів не обмежується й у вибірці з -елементів допускається будь-яке число повторень, що не перевищує . Початкову множину в цьому випадку можна розглядати як таку, що складається з різних елементів, але після вибірки деякого елемента він відновлюється в цій множині. Така вибірка називається вибіркою з поверненням.

Приклад 6.6. Нехай початкову множину можна задати трьома класами еквівалентності зі специфікацією {2, 5, 4}; тобто , де

.

Визначимо представників класів a, b, c, тобто . Так, – приклади різних перестановок із шести сполучень – приклади різних перестановок із 10 сполучень – різні 6-сполучення, а 11-сполучення тільки одне: .

Якщо ми припустимо, що у вибірці з -елементів із -елементів множини допускається будь-яка кількість повторень, то можливі 11-сполучення (a, a, a, a, a, a, a, a, a, a, a, a), (b, b, b, b, b, b, b, b, b, b, b) і т.д.

Розглянемо перестановку з повторенням з n елементів, специфікація яких {n₁, n₂, …, n_k}, де n = n₁ + n₂ + … + n_k. Позначимо їх число P_n (n₁, n₂, …, n_k).

Через збіг деяких елементів число перестановок менше, ніж n!, тому що переставлення однакових елементів нічого не змінює.

Елементи j-го класу містять елементів, які можна переставити способами, в кожному класі такі переставлення здійснюються незалежно. Тому відповідно до правила добутку можна здійснити перестановок, які не змінюють задану перестановку. Отже, число різних перестановок із повтореннями, що утворюються з елементів, менше за у разів. Таким чином, доведено таке твердження.

Твердження 6.2. .

Приклад 6.7. Нехай є слово з 11 букв „абракадабра”. Скільки є різних перестановок букв цього слова?

В слові „абракадабра” буква „а” повторюється 5 разів, буква „б” повторюється 2 рази, буква „р” повторюється 2 рази, буква „к” – 1 раз, буква „д” – 1 раз. Тому розв’язок задачі

.

Приклад 6.8. Нехай є проекти домів двох типів. Треба визначити, скільки існує різних планів забудови вулиці 7 будинками, коли відомо, що мають бути три будинки I типу, чотири будинки II типу.

Використовуючи формулу для визначення числа перестановок із повтореннями, знаходимо

.

Розглянемо -перестановку з різних елементів з поверненням, тобто будемо вважати, що запас об’єктів необмежений. Позначимо число -перестановок з різних елементів з поверненням через .

Твердження 6.3. .

Доведемо це твердження. Кожна з шуканих перестановок є впорядкованою послідовністю завдовжки , причому кожний член цієї послідовності може бути вибраний будь-яким з способів, звідки за узагальненим правилом добутку одержуємо шукану формулу.

Приклад 6.9. Як приклад визначимо, скільки існує різних тризначних чисел у десятковій системі. Очевидно, це задача визначення числа 3-перестановок з 10 елементів з поверненням. Застосувавши наведену вище формулу, дістанемо

.

Розглянемо -сполучення із різних елементів з необмеженими повтореннями.

Позначимо їх число через .

Твердження 6.4. .

Кожному -сполученню поставимо у відповідність перестановку, в якій всі елементи заданого сполучення закодовано одиницями, причому різні класи елементів розділяються нулем (навіть тоді, коли елементи яких-небудь класів не ввійшли в сполучення). Наприклад, для множини 4-сполученню відповідає перестановка 101101001; 4-сполученню – перестановка 011100011, 7-сполученню – перестановка 11011001101.

Очевидно, кожна перестановка для -сполучення з елементів із повтореннями містить одиниць і – 1 нулів, причому це перестановка з повтореннями з елементів зі специфікацією . Відповідність між множиною таких перестановок і множиною сполучень, що розглядаються, очевидно, є ін’єкцією. Отже, їхні потужності однакові, тобто шукане число -сполучень збігається з числом перестановок з обмеженими повтореннями з елементів зі специфікацією . Таким чином

.

Приклад 6.10. Розглянемо множину . Знайдемо число 2-сполучень із чотирьох елементів із необмеженими повтореннями, користуючись останньою формулою:

.

Перелічимо їх: .