Приложение 1

Ф

ЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Северо-Западный государственный заочный технический университет

Кафедра информатики

КУРСОВАЯ РАБОТА

по

ИНФОРМАТИКЕ

Тема: Системы принятия решения и оптимизации в электронных таблицах,

конструирование баз данных

Выполнил студент:

Институт:

Курс:

Специальность:

Шифр:

Проверил преподаватель:

Оценка:

Подпись преподавателя:

Дата:

Санкт-Петербург

2009

4.3. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

(для студентов спец. 080502.65, 080506.65, 080507.65 и 080105.65)

В контрольной работе студенты должны выполнить четыре задачи, связанные с финансовыми расчетами, оптимизацией управленческих решений и планированием выпуска продукции.

1. Методические указания к решению задач

1.1. Финансовые функции в электронных таблицах

Вопросы решения финансовых задач с использованием функций электронных таблиц рассмотрены в «Опорном конспекте», с.80-83

1.2. Решение задач оптимизации

Решение задач оптимизации рассмотрено в «Опорном конспекте», с.89-96 и в «Методических указаниях к выполнению курсовой работы», п. 4.2.3, с. 137-163.

1.3. Задачи анализа и прогнозирования

Рассмотрим задачу планирования производства на примере балансовой модели.

Экономическая система состоит их трех отраслей. Объемы производства каждой из отраслей за предыдущий период, текущее производственное потребление в отраслях, а также прогнозируемый конечный спрос продукции каждой из трех отраслей приведены в табл. 4.35.

Таблица 4.35

Отрасли	Объемы производства отраслей	Производственное потребление отраслей за предыдущий период			Прогнози- руемый конечный спрос
		1	2	3
1 2 3	600 1000 800	250 150 0	100 500 300	160 0 400	2000 2000 3000

Определить конечную продукцию каждой из отраслей за предыдущий период и план выпуска продукции в следующем периоде, считая, что технология производства не изменилась.

1.3.1. Математическая постановка задачи

Для решения поставленной задачи можно использовать балансовую модель Леонтьева. Она представляет собой систему уравнений, каждое из которых выражает требование равенства (баланса) между количеством продукции, производимой отдельным экономическим объектом, и совокупной потребностью в этой продукции. В рассматриваемой задаче экономическая система состоит из трех отраслей.

Пусть Х_i - величина, равная суммарному выпуску продукции отрасли - i;

x_ij - количество продукции отрасли i, необходимой для того, чтобы отрасль j произвела X_j единиц своей продукции;

Y_i - количество продукции отрасли i, остающееся после удовлетворения внутреннего спроса отраслей (конечная продукция).

Тогда взаимосвязь отраслей в процессе производства и потребления отдельного продукта Х_i (i=1, 2, 3) может быть описана в виде следующих уравнений:

(4.24)

Используем понятие коэффициентов прямых затрат (технологического коэффициента) a_ij:

- количество продукции отрасли i, необходимой для того, чтобы отрасль j произвела одну единицу своей продукции.

Тогда x_ij=a_ijX_j и система уравнений (4.24) будет иметь следующий вид:

(4.25)

Или в матричной форме

X=AX+Y, (4.26)

где - матрица прямых затрат,

Х - вектор-столбец выпуска продукции в предыдущем периоде;

Y - вектор-столбец конечного спроса в предыдущем периоде.

1.3.2. Аналитическое решение задачи

Определение вектора конечной продукции за предыдущий период

По условию задачи известны объемы производства каждой из отраслей за предыдущий период (суммарный выпуск продукции отрасли i): X₁=600, X₂=1000, X₃= 800 и значения x_ij (i,j=1, 2, 3):

Отсюда, используя табл. 4.35, можно определить значения Y_i, i=1, 2, 3 конечной продукции каждой из отраслей за предыдущий период.

Таким образом, вектор конечной продукции за предыдущий период найден: Y=(90, 350, 100).

Для определения вектора выпуска продукции Х при заданном конечном прогнозируемом векторе спроса Y=(2000, 2000, 3000) надо решить систему уравнений (4.26), из которой следует, что

(4.27)

где Е - единичная матрица;

S=(E-A)^-1 - называется матрицей полных затрат.

Определение коэффициентов прямых затрат

Учитывая, что технология производства не изменилась, определим коэффициенты прямых затрат a_ij:

Таким образом, матрица коэффициентов прямых затрат будет иметь вид

.

Проверка продуктивности матрицы

Все элементы матрицы А неотрицательные, А0.

Для того чтобы система уравнений (4.26) имела единственное неотрицательное решение при любом неотрицательном векторе Y, необходимо, чтобы матрица А была продуктивной. Экономический смысл продуктивности состоит в том, что существует такой план выпуска продукции, при котором каждая отрасль сможет произвести некоторое количество конечной продукции. Известно, что для продуктивности матрицы А0 необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы (Е-А) были положительными числами, строго меньше единицы. Кроме того, если сумма элементов каждого из столбцов неотрицательной квадратной матрицы А положительна и строго меньше единицы, то все главные миноры матрицы (Е-А) положительны и строго меньше единицы.

Суммы элементов каждого столбца матрицы А соответственно равны

Следовательно, в силу вышесказанного, матрица А продуктивна, выражение (4.27) имеет смысл и вектор Y неотрицателен. Следовательно, для нахождения плана выпуска продукции Х можно воспользоваться формулой (4.27).

Вычисление матрицы Е-А

Вычислим матрицу (Е-А):

Вычисление обратной матрицы (Е-А)^-1

Известно, что матрица В^-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице В, если произведение В*В^-1=Е (Е - единичная матрица).

Для вычисления обратной матрицы воспользуемся формулой

, (4.28)

где [B_ij] – матрица, полученная из элементов B_ij, а B_ij - алгебраические дополнения элементов i j матрицы.

B_ij=(-1)^i+j M_ij, (4.29)

где M_i - минор элемента B_ij (минор – это такой определитель, который получается из матрицы вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент).

Вычислим значения алгебраических дополнений элементов матрицы (Е-А). Обозначим для простоты описания вычислений Е-А=В:

.

Таким образом, .

Вычисление транспонированной матрицы

Поменяв в матрице (Е-А) строки и столбцы местами, получаем

Вычисление определителя матрицы (Е-А)

Вычислим определитель, применив разложение по первой строке:

Вычисление матрицы прямых затрат S

По формуле S=(E-A)^-1=B^-1=

.

Определение вектора выпуска продукции Х

Зная S и Y, вычислим X по формуле

.

Отсюда

Таким образом, вектор выпуска продукции в следующем периоде при заданном векторе конечной продукции

Y=(2000, 2000, 3000) равен X=(8637, 8322, 10985).

Очевидно, что с использованием матричных операций в Excel процедура вычислений в балансовой модели существенно упрощается.