4.2.3.6. Задача об оптимальном составе сплава

Для получения сплавов А и В используются четыре металла I, II, III и IV. Характеристики и запасы руд, из которых получают эти металлы, указаны в табл. 4.26.

Требования к содержанию металлов I, II, III и IV в сплавах, а также стоимости одной тонны сплавов при продаже приведены в табл. 4.27.

Необходимо максимизировать прибыль от продажи сплавов А и В.

Таблица 4.26

Руда	Максимальный запас, тонны	Состав, %					Цена, доллары за тонну
		I	II	III	IV	Другие компоненты
1	1000	20	10	30	30	10	30
2	2000	10	20	30	30	10	40
3	3000	5	5	70	20	0	50

Таблица 4.27

Сплав	Требование к содержанию металла	Цена одной тонны сплава, в долларах
А	Не более 80% металла I	200
	Не более 30% металла II
В	От 40% до 60% металла II	210
	Не менее 30% металла II
	Не более 70% металла IV

Решение включает этапы, описанные в пп. 4.2.3.2.

1) Построение математической модели

1. Определение целевой функции

Обозначим количество металлов I, II, III и IV, использованных для получения сплава А, переменными Х_1А, Х_2А, Х_3А, Х_4А. Количество металлов I, II, III и IV, использованных для получения сплава В, обозначим переменными Х_1В, Х_2В, Х_3В, Х_4В.

Для обозначения количества используемой руды введем переменные Y₁, Y₂, Y₃.

Объем производимого сплава А (в тоннах) равен

Х_1А+Х_2А +Х_3А +Х_4А.

Аналогично объем сплава В равен

Х_1В+Х_2В+Х_3В +Х_4В.

Прибыль от продажи сплава А составит

Z₁=200(Х_1А+Х_2А +Х_3А +Х_4А) , (4.11)

а прибыль от продажи сплава В равна

Z₂=210(Х_1В+Х_2В+Х_3В +Х_4В). (4.12)

Стоимость руд, использованных при литье металлов, равна

Z₃=30Y₁+40Y₂+50Y₃. (4.13)

Тогда целевую функцию – прибыль предприятия – можно записать в виде разности между прибылью от продажи сплавов и затратами на руды

Z=Z₁+Z₂-Z₃. (4.14)

Или, подставляя выражения (4.11), (4.12) и (4.13) получим

Z=200(Х_1А+Х_2А +Х_3А +Х_4А)+ 210(Х_1В+Х_2В+Х_3В +Х_4В)-30Y₁-40Y₂-50Y₃. (4.15)

2) Определение ограничений на переменные

Можно выделить четыре вида ограничений:

а) По физическому смыслу переменных – объемы используемых металлов и руд не могут быть отрицательными, следовательно

(4.16)

б) Ограничения на состав сплавов. Согласно табл.4.27, получаем

(4.17)

в) Ограничения на состав металлов согласно табл. 4.26:

(4.18)

г) ограничения по запасам руды:

(4.19)

Итак, для решения задачи нужно найти такие значения расходуемых объемов металлов Х_1А, Х_2А, Х_3А, Х_4А, Х_1В, Х_2В, Х_3В, Х_4В и руд Y_1, Y₂, Y₃, которые обеспечат максимальное значение целевой функции (4.15) при выполнении ограничений (4.16) – (4.19).

2) Построение начального плана решения

1. Отведем под переменные Х_1А, Х_2А , Х_3А , Х_4А диапазон ячеек В4:В7 электронной таблицы (в табл. 4.28 ЭТ приведена в режиме показа вычислений, в табл. 4.29 – в режиме показа формул).

2. Для хранения переменных Х_1В, Х_2В, Х_3В, Х_4В отведем диапазон ячеек С4:С7 электронной таблицы.

3. В ячейках Е5:Е7 разместим значения переменных Y_1, Y₂, Y₃. Для всех переменных начальные значения полагаем равными нулю.

4. В диапазоне ячеек F5:F7 вводим значения имеющихся запасов руды из второго столбца табл. 4.26.

5. В диапазон ячеек G5:G7 вводим цены за одну тонну руды из последнего столбца табл. 4.26.

Таблица 4.28

	A	B	C	D	E		F	G	H	I	J	K
1	Оптимальный состав сплава
2		Сплав
3	Металл	А	В	Руда					Состав металлов
4	1	0	0	Номер	Затраты		Запас	Цена	I	II	III	IY
5	2	0	0	1	0		1000	30	0,2	0,1	0,3	0,3
6	3	0	0	2	0		2000	40	0,1	0,2	0,3	0,3
7	4	0	0	3	0		3000	50	0,05	0,1	0,7	0,2
8	Ограничения
9	Левая часть					Правая часть
10	0					0
11	0					0
12	0					0
13	0					0
14	0					0
15	0					0
16	0					0
17	0					0
18	0					0
19	0					0
20	Целевая функция
21	0

6. В диапазон ячеек Н5:К7 помещаем характеристики состава руд из столбцов 3 – 6 табл. 4.26.

7. В ячейки диапазона А10:А15 вводим левые части ограничений (4.17).

8. В ячейки диапазона Е10:Е15 вводим правые части ограничений (4.17).

9. В ячейки диапазона А16:А19 вводим левые части ограничений (4.18).

10. В ячейки диапазона Е16:Е19 вводим правые части ограничений (4.18).

11.В ячейке А21 размещаем целевую функцию (4.15).

При работе с программой Calc функцию СУММ заменяем на SUM, а функцию СУММПРОИЗВ – на функцию SUMPRODUCT.

3) Оптимизация плана решения

1. Вызываем режим Поиск решения (Сервис – Поиск решения).

2. Заполняем окно Поиск решения согласно рис. 4.8.

3. Командой Выполнить запускаем режим Поиск решения.

Результат его работы представлен в табл. 4.30.

Таблица 4.29

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K
1	Оптимальный состав сплава
2		Сплав
3	Металл	А	В	Руда				Состав металлов
4	1	0	0	Номер	Затраты	Запас	Цена	I	II	III	IY
5	2	0	0	1	0	1000	30	0,2	0,1	0,3	0,3
6	3	0	0	2	0	2000	40	0,1	0,2	0,3	0,3
7	4	0	0	3	0	3000	50	0,05	0,05	0,7	0,2
8	Ограничения
9	Левая часть				Правая часть
10	=В4				=0,8*СУММ(В4:В7)
11	=В5				=0,3*СУММ(В4:В7)
12	=С5				=0,6*СУММ(С4:С7)
13	=С5				=0,4*СУММ(С4:С7)
14	=С6				=0,3*СУММ(С4:С7)
15	=С7				=0,7*СУММ(С4:С7)
16	=СУММ(B4:C4)				=СУММПРОИЗВ(E5:E7;H5:H7)
17	=СУММ(B5:C5)				=СУММПРОИЗВ(E5:E7;I5:I7)
18	=СУММ(B6:C6)				=СУММПРОИЗВ(E5:E7;J5:J7)
19	=СУММ(B7:C7)				=СУММПРОИЗВ(E5:E7;K5:K7)
20	Целевая функция
21	=200*СУММ(B4:B7)+210*СУММ(C4:C7)-СУММПРОИЗВ(E5:E7;G5:G7)

Рис. 4.8

Таблица 4.30

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K
1	Оптимальный состав сплава
2		Сплав
3	Металл	А	В	Руда				Состав металлов
4	1	62,5	488	Номер	Затраты	Запас	Цена	I	II	III	IY
5	2	0	650	1	1000	1000	30	0,2	0,1	0,3	0,3
6	3	2512,5	488	2	2000	2000	40	0,1	0,2	0,3	0,3
7	4	1500	0	3	3000	3000	50	0,05	0,1	0,7	0,2
8	Ограничения
9	Левая часть				Правая часть
10	62,5				3260
11	0				1222,5
12	650				975
13	650				650
14	487,5				487,5
15	0				1137,5
16	550				550
17	650				650
18	3000				3000
19	1500				1500
20	Целевая функция
21	896250