12.Гетероскедастичность случайного возмущения. Причины. Последствия. Тест gq.

Вторым условием Гаусса-Маркова для классической регрессионной модели является независимость дисперсии возмущения от номера (момента) наблюдений (гомоскедастичность – одинаковый разброс). Нарушение этого условия принято называть гетероскедастичностью (неодинаковый разброс).

При наличии гетероскедастичности количественные характеристики вектора возмущений равны:

Причины:

• Неоднородность исследуемых объектов (например, при анализе зависимости спроса от дохода потребителя выясняется, что чем больше доход, тем больше индивидуальное значение спроса колеблется относительно ожидаемого значения);

• Характер наблюдений (например, данные временного ряда).

Последствия:

• При наличии гетероскедастичности МНК обеспечивает несмещенные оценки параметров, но оценка дисперсии возмущений – смещенная, т.е.

И это приводит к неадекватным оценкам:

• Автоковариационной матрицы оценок параметров

• Границ доверительных интервалов параметров модели и значений зависимой переменно,

Т.е. последствия такие же, как и от автокорреляции.

Тест GQ.

Предпосылки теста:

1)пропорциональность дисперсии случайного возмущения величине некоторого регрессора X_j

2)случайное возмущение распределено нормально и не подвержено автокорреляции

Алгоритм теста:

1. Упорядочить выборочные данные по величине регрессора X_tj, t=1,…,n, относительно которого есть подозрение на гетероскедастичность (или по сумме модулей регрессоров)

2. По первым и последним n’ данным выборки оцениваются две частные регресии и векторы остатков e₁ и e₂ соответственно

k+1< n’≈ n/3, k+1 – число параметров модели.

3. По остаткам частных регрессий вычисляются суммы квадратов остатков:

4. вычисляются статистики, имеющие F-распределение:

GQ =Qост1/Qост2, GQ^-1=Qост2/Qост1

5. по таблице распределения с двумя параметрами v₁ = v₂ = n’- k – 1 – число степеней свободы, для уровня значимости α определяется Fкр

6. гипотеза об отсутствии гетероскедастичности принимается, если справедливы оба неравенства GQ ≤ Fkp, GQ^-1≤ Fkp, в противном случае делается вывод о гетероскедастичности случайных возмущений.

13.Двухшаговый метод наименьших квадратов для оценки параметров структурной формы модели

Выполним оценку структурных параметров уравнения системы ДМНК. Запишем уравнения наблюдений, с учетом условия нормализации, в следующем виде: , (10.31)

t=1,...,n, q – число эндогенных переменных, включенных в первое уравнение, p – число предопределенных переменных первого уравнения.

Введем обозначения:

- вектор наблюдений эндогенной переменной, для которой выполняется условие нормализации

- матрица наблюдений остальных эндогенных переменных, включенных в первое уравнение

- матрица наблюдений предопределенных переменных, включенных в первое уравнение

- матрица наблюдений предопределенных переменных, включенных в систему

- структурные параметры уравнения

- вектор случайных возмущений первого уравнения, n – объем выборки, k – число предопределенных переменных в системе.

Перепишем уравнение (10.31) в новых обозначениях:

(10.32)

Спецификацию (10.32) можно представить в стандартном виде спецификации множественной регрессионной модели:

, (10.33) где - блочная матрица, - блочный столбец.

Так как элементы матрицы коррелированы с элементами вектора , непосредственное применение МНК к структурной модели приведет к смещенным и несостоятельным оценкам. Поэтому в ДМНК поступают следующим образом:

Первый шаг:

1. Проводится регрессия каждого столбца матрицы спецификации (10.32) на все предопределенные переменные модели, т.е. рассматривается регрессия

, j=1,...,q-1, где - вектор столбец приведенных параметров k x 1 (j-я строка матрицы коэффициентов приведенной формы).

МНК-оценки вектора определяются по формуле:

.

2. По оцененной модели вычисляется оценка:

, j=1,...,q-1, и формируется матрица оценок .

Второй шаг

Строятся МНК-оценки структурных параметров и в регрессии:

(10.36)

Запишем (10.36) по аналогии с (10.33):

, (10.37) где . (10.38)

МНК-оценка параметров регрессионной модели (10.37) имеет вид:

, или

. (10.39)

На основании (10.38) вектор оценок параметров спецификации (10.37) можно представить следующим образом:

, (10.40)

с учетом свойства идемпотентности матрицы N. Формула (10.40) совпадает с выражением для оценки параметров (4.22) методом инструментальных переменных. В качестве инструмента для стохастических регрессоров Z здесь используются их оценки .

Автоковариационная матрица оценок структурных параметров первого уровня определяется выражением:,

Где - дисперсия возмущения первого уровня.

Если для уравнения выполнено ранговое условие идентификации и порядковое условие со знаком равенства (точная идентификация), то оценка ДМНК совпадает с оценкой КМНК. В большинстве экономических компьютерных пакетов для оценки одновременных уравнений реализован двухшаговый МНК.

17.Докажите, что F _{y, ŷ} = t²

Статистика F, как легко проверить совпадает с квадратом t-статистики для параметра b (примечание: в учебнике написано b, хотя здесь Невежин требует y. Eсли попадется, лучше у него уточнить, но вообще логично, что параметр – это именно b, а не y. Если нет, замените везде b на y)

18.Докажите, что r_{y, ŷ} =√R²

Покажем связь между y и ŷ, и коэффициентом детерминации R²

Где учтено, что