6. Идеальная жидкость. Законы идеальной жидкости (неразрывности,бернули)

Идеа́льная жи́дкость — в гидродинамике — воображаемая (идеализированная) жидкость, в которой, в отличие от реальной жидкости, отсутствует вязкость . В идеальной жидкости отсутствует внутреннее трение, то есть, нет касательных напряжений между двумя соседними слоями.

Моделью идеальной жидкости пользуются при теоретическом рассмотрении задач, в которых вязкость не является определяющим фактором и ею можно пренебречь. В частности, такая идеализация допустима во многих случаях течения, рассматриваемых гидроаэромеханикой, и даёт хорошее описание реальных течений жидкостей и газов на достаточном удалении от омываемых твёрдых поверхностей и поверхностей раздела с неподвижной средой. Математическое описание течений идеальных жидкостей позволяет найти теоретическое решение ряда задач о движении жидкостей и газов в каналах различной формы, при истечении струй и при обтекании тел.

Скорость жидкости и сечение трубы.

Предположим, что жидкость течет по горизонтальной трубе, сечение которой в разных местах различное (рис.2.2). Выделим мысленно несколько сечений в трубе, площади которых обозначим S1, S2, S3. За какой-то промежуток времени t через каждое из этих сечений должна пройти жидкость одного и того же объема. Вся жидкость, которая за время t походит через первое сечение, должна за это же время пройти второе сечение, и третье сечение. Заметим, что мы считаем, что жидкость данной массы повсюду имеет один объем, что она не может сжиматься (несжимаема).

Но как жидкость, протекающая через первое сечение может «успеть» за то же время протечь через значительно меньшее сечение S2? Очевидно, что для этого при прохождении узких частей трубы скорость движения жидкости должна быть больше, чем при прохождении широких.

Уравнение неразрывности струи.

Рассмотрим стационарный (скорость в данной точке не изменяется со временем) поток идеальной (нет внутреннего трения) несжимаемой жидкости.

В этом случае выполняется закон сохранения массы.

Пусть за время t через сечение трубы S1 проходит жидкость массой m1 (рис. 2.3):

Тогда через сечение S2 за тоже время проходит жидкость массой m2:

Так как m1=m2, то

или

Где сечение трубы меньше, там скорость жидкости больше, и наоборот (если S1 > S2, то v1 < v2).

Бернулли уравнение, основное уравнение гидродинамики, связывающее (для установившегося течения) скорость текущей жидкости v, давление в ней р и высоту h расположения малого объёма жидкости над плоскостью отсчёта. Б. у. было выведено Д. Бернулли в 1738 для струйки идеальной несжимаемой жидкости постоянной плотности r, находящейся под действием только сил тяжести. В этом случае Б. у. имеет вид:

v2/2 + plr + gh = const,

где g — ускорение силы тяжести. Если это уравнение умножить на r, то 1-й член будет представлять собой кинетическую энергию единицы объёма жидкости, а др. 2 члена — его потенциальную энергию, часть которой обусловлена силой тяжести (последний член уравнения), а др. часть — давлением p. Б. у. в такой форме выражает закон сохранения энергии. Если вдоль струйки жидкости энергия одного вида, например кинетическая, увеличивается, то потенциальная энергия на столько же уменьшается. Поэтому, например, при сужении потока, текущего по трубопроводу, когда скорость потока увеличивается (т.к. через меньшее сечение за то же время проходит такое же количество жидкости, как и через большее сечение), давление соответственно в нём уменьшается (на этом основан принцип работы расходомера Вентури).

Уравнение Бернулли для реальной жидкости будет иметь вид:

Для двух произвольных сечений 1-1 и 2-2 потока идеальной жидкости уравнение Бернулли имеет следующий вид:

Так как сечения 1-1 и 2-2 взяты произвольно, то полученное уравнение можно переписать иначе: