Вопрос 1. Формальные исчисления. Выводы в исчислении. Теорема исчисления. Разрешимые и непротиворечивые исчисления.

I=<A, F, Ax, R> - форм. исчисление. A-алфавит (мн-во символов), FS – мн-во формул, АхF-мн-во аксиом; R={R₁…R_n}-конечное мн-во отношений на мн-ве F.

(₁…_m,)R_i непосредственное следствие формул (₁…_m) по правилу i.

_i , R₁R_n – правила вывода

Вывод в исчислении I – последовательность формул ₁…_m, где каждая _i является аксиомой или получается из предыдущих ф-л по нек. правилу вывода.

 наз. теоремой исчисления I (выводимой или доказуемой I), если вывод ₁…_m,

Примеры:

1. F - мн-во повествовательных предложений русского языка. Ax – мн-во истинных в данный момент предложений вида «подл + сказ»

Правила вывода:

2. F – нек. мн-во программ. Ах – мн-во «простых» простых программ, которые оканчивают работу за конечное время с любыми данными

Правила вывода:

Расширенное исчисление – сущ. алгоритм, который для любой ф-лымн-ва F (F) позволяет за конечное число шагов проверить выводимость ф-лы в данном исчислении.

Непротиворечивое исчисление – если все ф-лы доказуемые.

Вопрос 2 Исчисление высказываний ив. Теорема о замене

Используя понятие формального исчисления,определим ИВ.Алфавит ИВ состоит из букв A,B,Q,R,P и др,возможно с индексами (пропозициональные переменные) ,лог.символов(связок),,,, (симв.следования),а также вспомогат.сиволов (),.Мн-во формул ИВ определяется индуктивно: а)все пропозиц.переменные явл.атомарными формулами ИВ; б)если , -формулы ИВ,то,, ,-формулы ИВ;в)выражение явл.формулой ИВэто м!б!установлено с пом.пунктов а)и б).Схема аксиом:. Правила вывода:1)Г;Г/Г. 2)Г/Г.3) Г/Г.4)Г/Г.5) Г/Г.6)Г, ;Г,;Г/Г.7)Г,/Г(). 8)Г;Г/Г.9)Г,/Г.10)Г;Г/Г.11)Г₁,,,Г₂/Г₁,,,Г₂_{. 12)Г/Г,.}

1…,n -формула  выводима из формул 1,…,n (секвенция ИВ).1,…,m -лин.док-во. Дерево секвенций:1)если S-секвенция,то S-дерево секвенций.2)если Do,…,Dn-деревья,S-секвенция,то (Dо,…,Dn)/S-дерево секвенций. Дерево D наз.док-вом секв.S,если D явл.док-вом,а S-заключительная секв.дерева D. Теорема:Секв.S имеет док-во в виде дереваS-теорема ИВ.Формула  наз.доказуемой,если доказуема секв..Теорема о дедукции:Если Г,,то Г,где Г-набор нек.формул 1,…, n.Следствие:секв. 1,…, n док-мадок-ма формула 1(2…(n)…).

Вопрос 3. Основные эквивалентности (ив) формулы ,аксиомы и правила вывода. Понятия док-ва ,дерево док.. Теор. О дедукции.

Алфавит.

-проиозициональные переменные Q₀,Q₁,…,Q_n,… ; A,B,C,…

-логические символы или связки Λ,v,→, ┐,├- символ следования

-вспомогательные символы:( ),

Фор-лы ив – слово алфавита ив ,кот. Опр-ся по инд.:

1)любая проп. перем. явл. ф-лой(анотамарная или элементарная ф-ла) A_n,Q₇

2)если φ,ψ –формулы ,то (φ Λ ψ),( φVψ), ( φ→ψ), ┐φ – ф-лы

Секвенции ИВ

φ ₁ ,…,φ_n├ ψ,Г├ ψ

-Г├(из Г можно вывести противор.инф)

-├ общее противоречие ; φ ₁ ,…,φ_n –посылки,ψ- заключение;схема аксиом: φ├ φ

Правила вывода:

1) (Г├ φ;Г├ ψ)/ (Г├(φ Λ ψ)) ; 2) (Г├(φ Λ ψ))/ (Г├φ) ; 3) (Г├(φ Λ ψ))/ (Г├ ψ) ;

4) (Г├ φ)/( Г├( φVψ)) ; 5) (Г├ ψ )/( Г├( φVψ)) ; 6) Г,φ├ ψ;Г,x├ ψ;Г├ φVψ/Г├ ψ;

7) Г,φ├ ψ/ Г├( φ→ψ) ; 8) Г├φ, Г├( φ→ψ)/ Г├ ψ ; 9)Г, ┐φ├/ Г├φ ; 10) Г├φ; Г├ ┐φ/ Г├;

11) Г₁, φ, ψ,Г₂├x/ Г₁, ψ,φ, Г₂├x ; 12) Г├φ/ ψ ├ φ;

Дерево секвенций

1)если S – секв. ,то S – дерево секвенций

2)если D₀,…,D_n-деревья ,S –секв., то D₀,…,D_n/S-дерево секвенций

Дерево D раз. Докозат. Если все начальные секвенции явл. аксиомами,а переходы осуществ. По правилам вывода.

Теорема о дедукции. Если Г,φ├ ψ,то Г├( φ→ψ) (правило 7) следствие секв. φ ₁ ,…,φ_n├φ доказуема  дказуема ф-ла (φ₁→( φ₂→…( φ_n→ ψ)…))