12. Оценивание параметров модели взвешенным методом наименьших квадратов
Для практики
полезно из теоремы Гаусса-Маркова
выделить частный случай обобщенного
метода наименьших квадратов, разработанный
Гауссом в первой половине 19в. В этом
частном случае, именуемом в эконометрике
взвешенным методом наименьших квадратов
(ВМНК), матрица 
является диагональной, но не скалярной,
т.е. 
Это означает, что
предпосылка 
справедлива, а предпосылка 
нет, следовательно
(1)
Введем здесь
обозначение: 
(2)
Определение
Согласно
предположенной Гауссом терминологии
,
определенная по правилу (2), называется
весом случайной переменной 
.
Понятие веса случайной переменной
позволяет придать внятный смысл константе
:
это дисперсия такой случайной переменной,
вес которой равен единице; иногда такую
случайную переменную именуют (термин
Гаусса) единицей веса.
С учетом (1) матрица
в
процедуре 
оказывается диагональной:
из формулы 
упрощается:
В свою очередь
свойство 
обобщенных наименьших квадратов,
справедливое для оценки Эйткена 
, трансформируется в свойство взвешенных
наименьших квадратов: 
=
Отметим, что матрицу (3) называют матрицей
весов, а обратную к ней матрицу Ω –
матрицей обратных весов или весовых
коэффициентов.
13. Модель Марковица
Модель основана на том, что показатели доходности различных ценных бумаг взаимосвязаны: с ростом доходности одних бумаг наблюдается одновременный рост по другим бумагам, третьи остаются без изменения, а по четвертым доходность, наоборот, снижается. Такая зависимость не является детерминированной, т.е. однозначно определенной, а есть стохастической и называется корреляцией.
Модель Марковица имеет следующие основные допущения:
— в качестве доходности ценной бумаги принимается математическое ожидание доходности;
— в качестве риска ценной бумаги принимается среднее квадратическое отклонение доходности;
— принимается, что данные прошлых периодов, используемые при расчете доходности и риска, в полной мере отражают будущие значения доходности;
— степень и характер взаимосвязи между ценными бумагами выражается коэффициентом линейной корреляции.
По модели Марковица доходность портфеля ценных бумаг — это средневзвешенная доходность бумаг, его составляющих, и она определяется формулой:
где
N — количество ценных бумаг в портфеле;
—
процентная доля данной бумаги в
портфеле;
—
доходность данной бумаги.
Риск портфеля ценных бумаг определяется средним квадратическим отклонением доходности портфеля:
, где
,
—
процентные доли данных бумаг в портфеле;
,
—
риск данных бумаг (среднеквадратическое
отклонение);
—коэффициент
линейной корреляции.
С использованием модели Марковица для расчета характеристик портфеля прямая задача приобретает вид:
Обратная задача представляется аналогичным образом:
При практическом применении модели Марковица для оптимизации фондового портфеля используются следующие формулы:
-
доходность ценной бумаги:
, где Т –
количество прошлых наблюдений доходности
данной ценной бумаги.
-
риск ценной бумаги (в виде оценки среднего квадратического отклонения):
3) статистическая оценка коэффициента корреляции между показателями доходности двух ценными бумагами:
,
где
—
доходность ценных бумаг a
и b
в период t.
Ясно, что для N рассматриваемых ценных бумаг необходимо рассчитать
коэффициентов
корреляции.