8. Процедура точечного прогнозирования по оцененной линейной эконометрической модели парной регрессии значений эндогенной переменной

Регрессионным анализом называется определение аналитического выражения связи между исследуемыми переменными, в котором изменение результативной переменной происходит под влиянием факторной переменной.

К примеру модель парной регрессии (1)

создается как правило, для прогноза значений эндогенной переменной у по заданным значениям экзогенной переменной Х-регрессора модели.

Прогнозировать значения эндогенной переменной можно лишь тогда, когда модель признана адекватной. Модель называется адекватной, если прогнозы значений эндогенной переменной согласуются с ее наблюденными значениями. Таким образом, прогнозы по оцененной модели эндогенной переменной используются и в процедуре проверки адекватности данной модели.

Рассмотрим оптимальный точечный прогноз на примере.

Пусть модель (1) оценена МНК по выборке (2) в ситуации, когда все предпосылки теоремы Гауса-Маркова адекватны. Таким образом, имеется оценка модели (1):

(3)

Пусть значение экзогенной переменной данной модели;

прогноз.

Заметим, что в рамках модели (1) пара связана с уравнением y0=a0+a1*x0+u0 (4), где случайный остаток u0 обладает, по предположению, количественными характеристиками

m=E(u₀)=0

Var(u₀)= (5)

Докажем (см. задачу (3)), что в рамках модели (1) при наличии информации об объекте-оригинале в виде выборки (2) наилучший точечный прогноз величины y0 вычисляется по правилу (6) т.е. в итоге подстановки в МНК-оценку функции регрессии модели (1) значения х=х0 экзогенной переменной. В свою очередь, средняя квадратическая ошибка прогноза (6) отыскивается по формуле:

(7)

где ^-1 (8)

^T (9)

9. Интервальное прогнозирование по оцененной линейной эконометрической модели парной регрессии значений эндогенной переменной

Рассмотрим дробь , где - прогнозное значение. Эта дробь имеет смысл нормированно ошибки прогноза и называется дробью Стъюдента. Заметим, что эта величина является случайной переменной (СП). При справедливости сделанных предположений о случайном возмущении модели дробь Стьюдента обладает известным законом распределения (ЗР) – распределением Стьюдента (или t-распределением) с числом степеней свободы , где (k+1) – количество оцениваемых коэффициентов модели.

Данное обстоятельство позволяет построить замкнутый интервал с границами, именуемый доверительным, который накрывает прогнозируемое значение эндогенной переменной с принятой доверительное вероятностью β. В последних двух выражениях символом t_крит обозначено критическое значение модуля дроби Стьюдента.

Обсужденная выше процедура интервального прогнозирования значений эндогенной переменной генерирует естественное правило объективной (формализованной) проверки адекватности оцененной модели:

1. Результаты наблюдений объекта-оригинала (выборку) разделить на два класса. В первый класс, именуемый обучающей выборкой, включить основной объем результатов наблюдения объекта-оригинала (90-95% выборки X,. Оставшиеся результаты наблюдений (например, пара (x₀,y₀)) составляют контролирующую выборку.

2. По обучающей выборке оценить МНК-модель.

3. Задаться доверительной вероятностью β и по значениям регрессоров, входящих в контролирующую выборку (например, по значению x₀), построить доверительные интервалы для соответствующих этим регрессорам значений эндогенной переменной модели (например, y₀).

4. Проверить, попадают ли значения эндогенной переменной из контролирующей выборки (например, значение y₀) в соответствующие доверительные интервалы (например, в интервал . Если да, то признать оцененную модель адекватной; если же нет, то оцененная модель не может быть признана адекватной и подлежит доработке.

Процедуры интервального прогнозирования и проверки адекватности модели требуют значений t_крит. Чем выше значимость прогнозов, тем большее значение доверительное вероятности приходится принимать.