8.3. Волновое уравнение
Уравнение волны является решением дифференциального уравнения, называемого волновым.
Для
его установления найдем вторые частные
производные по времени и координатам
от уравнения волны.
(1)
(2),
известно, что
Аналогичные
уравнения (3) и (4) можно записать для
координат
и
.
Сложив производные по координатам, получим:
(5)
Величина
обозначается знаком
и называется оператором Лапласа
(лапласиан). Сопоставив уравнения (1) и
(5), получим :
или
(6)
– волновое
уравнение.
Любая
функция, удовлетворяющая уравнению
(6), описывает некоторую волну, при этом
корень квадратный из величины обратной
коэффициенту при второй производной
по времени дает фазовую скорость волны.
8.4 Энергия волны.
Упругая среда, в которой распространяются механические волны, обладает как кинетической энергией колебательного движения частиц, так и потенциальной энергией, обусловленной деформацией среды при движении волны.
Кинетическая
энергия малого объема
среды
с плотностью
,
в котором все частицы движутся с
одинаковой скоростью
равна:
,
а объемная плотность энергии
.
Потенциальная энергия малого объема упруго – деформированной среды:
,
где
- фазовая скорость волны в среде,
-
относительная деформация среды. Объемная
плотность потенциальной энергии:
Сумма
дает объемную плотность энергии упругих
волн, т.е., объемную плотность механической
энергии среды, обусловленную
распространением волн, равную:
()
для определенной координаты и времени.
Если
в среде распространяется продольная
плоская волна вдоль оси
,
,
то скорость колебаний частиц малого
объема:
.
А деформация этого объема:
.
Подставим в уравнение () и и учтем, что , получим:
-
плоская волна.
Таким
образом, объемная плотность энегрии
волны зависит как от координаты, так и
от времени. В каждый момент времени она
разная в разных точках среды. В одной и
той же точке она изменяется со временем
по закону
.
Т.к., среднее значение
равно ½, то среднее по времени значение
энергии в каждой точке среды:
т.е., пропорционально плотности среды, квадрату амплитуды и частоты.
Рис.8,3 а)
Рис.8,3б