23. В тетрадке

24. В тетрадке

25. Формулу

задающую определение дифференциала, можно записать в виде приближённого равенства

если считать (при малых ) значение бесконечно малой величины много меньшим, чем . Перенося в правую часть, получаем:

где . С учётом выражения дифференциала через частные производные, находим, что

Эту формулу можно применять для приближённого вычисления значений функции в точках , если известны значения и её частных производных в точке .

26. Производные и дифференциалы высших порядков и их вычисление.

Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть производная некоторой функции f дифференцируема. Тогда производная от производной этой функции называется второй производной функции f и обозначается f". Таким образом,

f"(x) = (f'(x))'.

Если дифференцируема (n - 1)-я производная функции f, то ее n-й производной называется производная от (n - 1)-й производной функции f и обозначается f⁽ⁿ⁾. Итак,

f⁽ⁿ⁾(x) = (f^(n-1)(x))',   n ϵ N,   f⁽⁰⁾(x) = f(x).

Число n называется порядком производной.

Дифференциалом n-го порядка функции f называется дифференциал от дифференциала (n - 1)-го порядка этой же функции. Таким образом,

dⁿf(x) = d(d^n-1f(x)),   d⁰f(x) = f(x),   n ϵ N.

Если x - независимая переменная, то

dx = const   и   d²x = d³x = ... = dⁿx = 0.

В этом случае справедлива формула

dⁿf(x) = f⁽ⁿ⁾(x)(dx)ⁿ.

27. Формулировка и доказательство теоремы Ферма о производной функции, дифференцируемой в точке ее экстремального значения.

   Теорема 5.1 (Ферма)   Пусть функция  имеет на множестве  точку экстремума , причём множество  содержит некоторую -окрестность точки . Тогда либо  имеет в точке производную, равную 0, то есть , либо производная в точке  не существует.

Замечание 5.1   Заметим, что условие  означает, что тангенс угла  наклона касательной к графику , проведённой при , равен 0. Отсюда , то есть теорема Ферма утверждает, что касательная, проведённая в точке экстремума, горизонтальна (если эта касательная существует).     

        Доказательство теоремы Ферма.     Если производная в точке экстремума не существует, то утверждение теоремы верно. Предположим, что производная  существует. Рассмотрим два случая.

Пусть функция имеет в точке  максимум. Тогда при всех , поскольку . Если взять , то , и поэтому . При вычислении производной мы переходим к пределу при  в этом разностном отношении. При этом знак нестрогого неравенства сохраняется, когда мы берём предел справа:

Аналогично, при , , и поэтому . Отсюда, вычисляя предел слева, получаем:

Итак, выполняются два неравенства:  и , что возможно лишь при .

Пусть теперь функция  имеет в точке  минимум. Тогда  при всех , поскольку . Если взять, то , и поэтому . Переходя к пределу при  в разностном отношении, получаем:

Аналогично, при , , и поэтому . Вычисляя предел слева, получаем:

Из неравенств  и  получаем, что .    

28. В тетрадке

29. В тетрадке

30. В тетрадке

31. В тетрадке

32.

Функция f (x) называется возрастающей на промежутке D, если для любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f (x1) < f (x2).

Функция f (x) называется убывающей на промежутке D, если для любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f (x1) > f (x2).

Рисунок 1.3.5.1.

Промежутки возрастания и убывания функции.

На показанном на рисунке графике функция y = f (x), возрастает на каждом из промежутков [a; x1) и (x2; b] и убывает на промежутке (x1; x2). Обратите внимание, что функция возрастает на каждом из промежутков [a; x1) и (x2; b], но не на объединении промежутков Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то она называется монотонной на этом промежутке.

Заметим, что если f – монотонная функция на промежутке D (f (x)), то уравнение f (x) = const не может иметь более одного корня на этом промежутке.

Действительно, если x1 < x2 – корни этого уравнения на промежутке D (f(x)), то f (x1) = f (x2) = 0, что противоречит условию монотонности.

Перечислим свойства монотонных функций (предполагается, что все функции определены на некотором промежутке D).

-Сумма нескольких возрастающих функций является возрастающей функцией.

-Произведение неотрицательных возрастающих функций есть возрастающая функция.

-Если функция f возрастает, то функции cf (c > 0) и f + c также возрастают, а функция cf (c < 0) убывает. Здесь c – некоторая константа.

-Если функция f возрастает и сохраняет знак, то функция 1/f убывает.

-Если функция f возрастает и неотрицательна, то где , также возрастает.

Если функция f возрастает и n – нечетное число, то f n также возрастает.

-Композиция g (f (x)) возрастающих функций f и g также возрастает.

33. Когда мы дифференцируем функцию, каждой точке этой функции мы ставим в соответствие некоторое число – ее производную в данной точке. Таким образом, производная функции также является функцией.

Если функция дифференцируема, то ее производную называют второй производной от f и обозначают :

Вторая производная от параметрической функции x = x ( t ) и y = y ( t ) задается формулой:

Вторую производную иногда обозначают: В физике вторую производную функции по времени нередко обозначают двумя точками:

Вторая производная определяет скорость изменения скорости или ускорение. Так, если x – координата материальной точки, движущейся со скоростью то ускорение этой точки равно

Важным применением второй производной является анализ выпуклости функции.

Аналогичным образом задаются производные высших порядков. Если функция f ( n –1) дифференцируема, то ее производную называют производной n -го порядка f ( n ) функции f .

Выпуклая функция — функция, у которой надграфик является выпуклым множеством.