Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Поволжский институт управления им. П.А. Столыпина РАНХиГС (ПАГС)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

matematika-otvety.docx

Скачиваний:

Добавлен:

24.12.2018

Размер:

386.49 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Модуль 1

1. Способы задания множеств. Множество может быть задано следующим образом:

– перечислением всех его элементов по их названиям ( так описываются множество книг в библиотеке, множество учеников в классе, алфавит любого языка и т.д.);Пример:Множество учеников данного класса определяется их списком в классном журнале, множество всех стран на земном шаре - их списком в классном журнале, множество всех костей в человеческом теле - их списком в учебнике анатомии.

Но этот способ применим только к конечным множествам, но и то не ко всем.

Пример:Свойство "быть квадратом целого числа" задает (бесконечное) множество всех квадратов целых чисел.

Задание множеств их характеристическим свойством иногда приводит к осложнениям. Может случиться, что два различныххарактеристических свойства задают одно и то же множество, т.е всякий элемент,обладающий одним свойством, обладает и другим, и обратно.

Пример:Хотя множество всех рыб в океане конечно, вряд ли его можно задать списком.

- описание в тех случаях, когда множество нельзя задать при помощи списка, его задают путем указания некоторого характеристического свойства.Свойство является характеристическим для некоторого множества, если этому множеству принадлежат в точности те элементы, которые обладают данным свойством.

2.Натуральные числа - числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления), т.е натуральные числа - это естественные числа.

Натуральными числами не являются: отрицательные и нецелые числа.

N={1;5;8}

Множество целых чисел

, Оно состоит из натуральных чисел (1, 2, 3), чисел вида -n () и числа нуль.

Множество, состоящее из всех целых положительных и отрицательных чисел, нуля и положительных и отрицательных дробей, называется множеством всех рациональных чисел

Дать определение равенства множеств с помощью отношения включения.

(определение равенства множеств). Множества А и B равны, если они состоят из одних и тех же элементов, то есть, если из x  A следует x  B и обратно, из x  B следует x  A.

Формально равенство двух множеств записывается следующим образом:

(А=В):=  x((x  A)  (x  B)),

это означает, что для любого объекта x соотношения x A и x B равносильны.

A=A(рефлексивность);
Если А=В, то В=А(симметричность);
Если А=В и В=С, то А=С(транзитивность).

Отношение включения

множество А содержится в множестве В или множество А является подмножеством множества В ( в этом случае пишут А В ), если каждый элемент множества А одновременно является элементом множества В . Эта зависимость между множествами называется включением. Для любого множества А имеют место включения: А и А А .

4. В тетрадке

5. Прямым произведением или декартовым произведением множеств и называется множество всех упорядоченных пар таких, что и . При этом используют следующее обозначение:

6.Из каких элементов состоит множество действительных чисел?

Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррационалъными. Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми. Примерами числовых множеств являются:

N={1; 2; 3; ...; n; ... } — множество натуральных чисел;

Zo={0; 1; 2; ...; n; ... } — множество целых неотрицательных чисел;

Z={0; ±1; ±2; ...; ±n; ...} — множество целых чисел;

Q={m/n: mÎZ,nÎN} — множество рациональных чисел.

R—множество действительных чисел.

Между этими множествами существует соотношение

NÌ ZoÌ ZÌ QÌ R.

Множество R содержит рациональные и иррациональные числа. Всякое рациональное число выражается или конечной десятичной дробью или бесконечной периодической дробью. Так, 1/2= 0,5 (= 0,500...), 1/3=0,333... — рациональные числа.

7.Числовая прямая - это множество действительных чисел.

Геометрической моделью числовой прямой служит координатная прямая.

8.Абсолю́тная величина́ или мо́дуль вещественного или комплексного числа x есть расстояние от x до начала координат. Более точно: Абсолютная величина вещественного числа x есть неотрицательное число, обозначаемое |x| и определяемое следующим образом: - если x > 0, то | x | = x; - если x <= 0, то | x | = − x.

Для любых имеют место следующие соотношения:

(см. Функция sgn(x)).
.

Как для вещественных, так и для комплексных имеют место соотношения:

, причём | a | = 0 тогда и только тогда, когда .
| − a | = | a | .
.
(неравенство треугольника).
.
.
.
, если существует.

9. Промежуток, или более точно, промежуток числовой прямой — множество вещественных чисел, обладающее тем свойством, что вместе с любыми двумя числами содержит любое, лежащее между ними.

Окрестностью точки называется всякое открытое множество, содержащее эту точку. И, как следует из определения открытых множеств топологии τ, всякая окрестность точки a включает один из интервалов указанного вида, содержащий a.

10.Выборка — множество случаев (испытуемых, объектов, событий, образцов), с помощью определённойпроцедуры выбранных из генеральной совокупности для участия в исследовании.

Определение. Выборка называется упорядоченной, если в ней задан порядок следования элементов. Если порядок следования элементов несущественен, то выборка называется неупорядоченной.

11.Прямое или декартовое произведение двух множеств — множество, элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары элементов исходных двух множеств.

14. Бином - иначе двучлен.

При n=1	(a + b)¹=a+b,
При n=2	(a + b)²=a²+2ab+b²,
При n=3	(a + b)³=a³+3a²b+3ab²+b³,
При n=4	(a + b)⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴.

Свойство коэффициэнтов бинома Ньютона

Коэффициенты членов, равноудаленных от концов разложения, одинаковы.
Сумма коэффициентов разложения (a + b)ⁿ равна 2ⁿ. Для доказательства этого свойства достаточно рассмотреть бином, у которого a = b = 1. С одной стороны бином (1 + 1)ⁿ =2ⁿ. C другой стороны бином равен сумме всех биномиальных коэффициентов.
Сумма коэффициентов членов, стоящих на нечетных местах, равна сумме коэффициентов членов, стоящих на четных местах. Каждая из них составляет 2ⁿ^-1.Чтобы убедиться в этом достаточно рассмотреть бином, у которого a = 1, b = -1.

Формула бинома Ньютона позволяет доказать важную зависимость между биномиальными коэффициентами : C_n^m⁺¹ = C_n^m + C_n^m⁺¹.

15.

16. Разбие́ниемно́жества — это представление его в виде объединения произвольного количества попарно непересекающихся подмножеств. Семейство непустых множеств , где A — некоторое множество индексов (конечное или бесконечное), называется разбиением X, если:

1. для любых , таких что ;

17. Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс —интегрирование.

Пусть s = s(t) — закон прямолинейного движения. Тогда v(t₀) = s'(t₀) выражает мгновенную скорость движения в момент времени t₀. Вторая производная a(t₀) = s''(t₀) выражает мгновенное ускорение в момент времени t₀.

18.Свойство дифференцируемости функции. Понятие дифференциала.

Линейную функцию называют дифференциалом функции f в точке и обозначают df. Для функции x производная в каждой точке равна 1, то есть Поэтому пишут:

Приближенное значение функции вблизи точки равно сумме ее значения в этой точке и дифференциала в этой же точке. Это дает возможность записать производную следующим образом:

Свойство дифференцируемости функции

- Теорема 5.2 (Ролля) Пусть функция дифференцируема на интервале , непрерывна в точках и и принимает в этих точках значение 0: . Тогда найдётся хотя бы одна точка , в которой .

- Теорема 5.3 (Лагранжа) Пусть функция дифференцируема на интервале и непрерывна в точках и . Тогда найдётся такая точка , что

- Теорема 5.4 (Коши) Пусть функции и дифференцируемы на интервале и непрерывны при и , причём при всех. Тогда в интервале найдётся такая точка , что

19. Правило дифференцирования суммы функций:

Правило дифференцирования разности функций:

Правило дифференцирования произведения функций (правило Лейбница):

Правило дифференцирования частного функций:

20.Правило дифференцирования сложной функции.Сложная функция (композиция функций, суперпозиция функций) обозначается или .

Производная композиции равна:

Если необходимо взять производную от композиции трех и более функций, то последовательно применяем указанное выше правило. Например,

Рассмотрим дифференциал функции в произвольной точке промежутка:. Здесь- приращение независимой переменной, которое является числом и не зависит от. Пусть теперь- функция независимого переменного, определенная на промежутке. Тогда- сложная функция переменного. Вычислим ее дифференциал, используя формулу для производной сложной функции: . Заметим, чтои выражение для дифференциала принимает ту же форму, хотя здесьуже функция переменного. Это свойство дифференциала первого порядка называется инвариантностью (т.е. неизменностью) его формы. При вычислении дифференциала второго порядка придется учитывать, что- функция переменного. Поэтомуи форма второго (а также и всех следующих) дифференциала неинвариантна.