7.3. Формула Ньютона-Лейбніца.

Обчислення визначених інтегралів як границь інтегральних сум (див. розд. 7.1) вимагає значних зусиль. Застосування формули Ньютона-Лейбніца істотно спрощує задачу обчислення інтегралів.

Якщо функція інтегровна в проміжку , то вона інтегровна й у проміжку , де  будь-яке значення з . Замінивши верхню границю визначеного інтегралу (7.1) змінною , одержимо інтеграл зі змінною верхньою границею:

. (7.5).

який, очевидно, є функцією від .

У формулі (7.5) змінну інтегрування позначено буквою . Слід пам’ятати, що змінну інтегрування можна позначити будь-якою літерою.

Якщо функція неперервна у точці , тоді у цій точці функція , визначена інтегралом (7.5), має похідну, що дорівнює :

. (7.6).

Приклад 7.1. Знайти похідну від визначеного інтеграла .

Розв’язок. Користуючись формулою (7.6), маємо:

.

З формули (7.6) витікає (див. розд. 6.1), що інтеграл у формулі (7.5) є первісною для функції , тобто

, (7.7).

де  будь-яка первісна функції (),  деяка стала.

Сталу знаходимо, вважаючи в формулі (7.7) та використовуючи формулу (7.2):

.

Звідси та з формули (7.7) маємо:

.

Вважаючи далі , одержимо основну формулу інтегрального числення:

, (7.8).

Приклад 7.2. Обчислити визначені інтеграли.

а) , б) , в) .

Розв’язок. Користуючись формулою (7.8), маємо:

а) , ();

б) , ();

в) , ().

Формула Ньютона-Лейбніца застосовується не тільки до неперервних функцій, але й до кусочно-неперервних функцій. При цьому інтервал інтегрування розбивають на частини точками розриву функції , потім подають інтеграл сумою інтегралів, згідно з властивістю (7.3) і до кожного з них застосовують формулу Ньютона-Лейбніца.

Приклад 7.3. Обчислити визначений інтеграл в залежності від верхньої границі на інтервалі , де

Розв’язок. При , маємо:

.

При , маємо:

.

Отже,

Л і т е р а т у р а: [4, гл. 6, §4, п. 2; 5, гл. 6, §6.4; 6, гл. ХI, §4].

7.4. Методи обчислення визначених інтегралів.

Встановлений формулою Ньютона-Лейбніца зв’язок між визначеним і невизначеним інтегралами дозволяє використовувати методи обчислення невизначених інтегралів (заміна змінної, інтегрування частинами). У тих випадках, коли точне обчислення інтегралів неможливе, удаються до методів наближеного обчислення.

7.4.1 Заміна змінної.

Нехай функція неперервна на відрізку . Вводячи нову змінну величину за рівністю , де

1. і неперервні на відрізку ;

2. , ;

3. визначена і неперервна на відрізку , отримаємо:

. (7.9)

Зауваження. При обчисленні визначеного інтеграла за формулою (7.9) не треба (на відміну від невизначеного інтеграла) повертатися до старої змінної величини.

Поряд з (7.9) можливий і такий варіант заміни змінної:

.

Вибір нової змінної інтегрування визначається ефективністю обчислення отриманого в результаті заміни змінної інтеграла.

Приклад 7.5. Обчислити визначений інтеграл .

Розв’язок. Обчислимо інтеграл, зробивши заміну змінної інтегрування.

Приклад 7.6. Обчислити визначений інтеграл .

Розв’язок. Обчислимо інтеграл, зробивши заміну змінної інтегрування.

.

При застосуванні формули заміни змінної у визначеному інтегралі треба: 1) визначити співвідношення між старою й новою змінними та їхніми диференціалами; 2) знайти границі інтегрування нової змінної величини.