Т е м а 7. ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ

Поняття визначеного інтеграла відіграє важливу роль у математичному аналізі та у різноманітних його застосуваннях.

7.1. Інтегральна сума. Визначений інтеграл як границя інтегральної суми.

Нехай на відрізку задана обмежена функція . Розіб’ємо точками , , , () цей відрізок на частин:

, , , , (, ),

оберемо довільно у кожній з них точку () і обчислимо значення у точках . Позначимо довжину відрізка через () і складемо суму . Діаметром розподілу називають величину . Зрозуміло, що з витікає . (Чи є вірним зворотне твердження?).

Зверніть увагу на зв’язок інтегральної суми з визначеним інтегралом: границю інтегральної суми при , якщо вона не залежить від способу поділу відрізка та вибору точок , називають визначеним інтегралом від функції за проміжком і позначають символом

.

Отже,

. (7.1)

Якщо до функції існує інтеграл (7.1), то вона називається інтегровною на відрізку . Числа і мають назву відповідно нижньої та верхньої границь інтеграла.

При інтегральна сума припускає просте геометричне тлумачення: вона чисельно дорівнює площі ступінчастої фігури, складеної з окремих прямокутників (рис. 7.1) шириною та висотою .

Інтуїтивно ясно (і це можна довести), що площа криволінійної трапеції, обмеженої кривою і прямими , , (див. рис. 7.1), дорівнює інтегралу (7.1).

Якщо функція , то інтегралу (7.1) можна приписати значення площі криволінійної трапеції, розташованої нижче осі , зі знаком мінус (за означенням, вважаємо площу додатковою величиною). Для знакозмінної функції (рис. 7.2) інтеграл (7.1) геометрично являє собою алгебраїчну суму площ фігур, причому площі фігур, розташованих вище осі , входять зі знаком плюс, а площі фігур, розташовані нижче осі  зі знаком мінус.

Значення деяких інтегралів можна одержати безпосередньо з геометричних міркувань. Так, якщо стала в інтервалі (), то маємо

.

Даний інтеграл дорівнює площі (рис. 7.3а) прямокутника висотою і шириною .

Якщо , то інтеграл визначається формулою

.

і дорівнює площі трапеції (див. рис. 7.3б).

Л і т е р а т у р а: [4, гл. 6, §4, п. 1; 5, гл. 6, §6.1; 6, гл. ХI, §1,2].

7.2. Властивості визначених інтегралів.

Перелічені нижче властивості інтегралів є безпосереднім висновком означення інтеграла як границі інтегральної суми. Треба звернути увагу на застосування цих властивостей.

1. Якщо поміняти місцями верхню і нижню границі інтеграла, знак інтеграла змінюється на протилежний:

.

2. Якщо верхня і нижня границі інтеграла рівні між собою, то інтеграл обертається в нуль:

. (7.2)

3. Визначений інтеграл адитивний відносно інтервала інтегрування:

, (7.3)

якщо .

4. Визначений інтеграл задавольняє умові лінійності:

.

5. Якщо в проміжку функції і інтегровні і задавольняють умові , то:

,

при .

6. Якщо інтегровна в проміжку функція задавольняє рівності , то:

.

при .

7. Теорема про середнє значення. Якщо функція неперервна в проміжку , тоді існує така точка , що:

. (7.4).

8. Узагальнена теорема про середнє значення. Якщо функція неперервна, а функція інтегровна в проміжку , тоді існує така точка , що:

.

Л і т е р а т у р а: [4, гл. 6, §4, п. 3; 5, гл. 6, §6.2; 6, гл. ХI, §3].