7. Линейные неоднородные ду с постоянными коэффициентами, теорема о структуре решений.

Такие уравнения имеют вид (1)

Теорема о структуре решения линейного неоднородного уравнения.

Если У – общее решение соответствующего однородного уравнения,

(2)

-некоторое частное решение неоднородного уравнения (1), то является общим решением уравнения (1).

Докажем теорему для линейного неоднородного уравнения второго порядка.

, где У - общее решение.

, - частное решение,

-решение уравнения

y=, ,

Т.к. У - общее решение, то первая скобка равна 0, т.к. – общее решение, то вторая скобка равна f(x).

Покажем, что входящие в решение произвольные постоянные можно выбрать так, чтобы были выполнены начальные условия

у(х0)=у0

х(у0)=х0

Каковы бы ни были числа х0, у0,

, где у1 и у2 ФСР однородного уравнения.

Это система линейных уравнений относительно с1 и с2 с определителем отличным от 0.

Т.к. определитель является определителем Вронского для функции у1 и у2, которые линейно не зависимы.

Полученная система является Крамеровской и всегда имеет единственное решение.

Теорема.

Если у1(х) – решение уравнения , у2(х) – решение уравнения

, то у=у1(х)+у2(х) – является решением уравнения.

Доказательство:

,

=

8. Метод вариации Лонгранжа.

(1)

Соответствующие однородные уравнения имеют общее решение

Y=c1y1+c2y2, тогда частное решение неоднородного уравнения

(2), тогда частное решение неоднородного уравнения

Пусть

Т.к. у1-решение уравнения и у2-решение этого же уравнения, то первая и вторая скобки равны 0.

Таким образом, для нахождения с1(х) и с2(х) получена система.

Полученная система является крамеровской, из этой системы и определяются однозначно проинтегрировав полученные функции найдем с1(х) и с2(х) и найдем частное решение неоднородного уравнения

9. Линейные неоднородные ду с правой частью специального вида.

, где a1, a2,…., an-const

или

Частное решение неоднородного уравнения будет иметь такой же вид как и правая часть только многочлен соответствующей степени будет полный и м.б. решение будет умножено на .

Пусть Qn(х) – полный многочлен степени n,

,

,

1. не является корнем соответствующего характеристического уравнения, то

γ - корень характеристического уравнения, кратности k

2.

-не корень характеристического уравнения.

-корень характеристического уравнения, кратности k, то

10. Числовые ряды, частичная сумма, сходящиеся и расходящиеся ряды, геометрические ряды.

а1, а2,.., аn, ...-последовательность,

а1+а2+...+an+…=

а1, а2, … -члены ряда.

Ряд считается заданным, если известен закон, по которому можно найти любой член ряда.

аn - общий член ряда.

Сумма первых n-членов ряда S= а1+а2+...+an и называется n-ой частичной суммой ряда, такой предел называют суммой ряда =S

Ряд называется расходящимся, если предел последовательности частичных сумм ряда бесконечен или существует.

Предел последовательности четных частичных сумм будет равен 0, а предел последовательности нечетных частичных сумм равен 1, т.к. из последовательности частичных сумм выделены 2 сходящиеся и расходящиеся предела, то предел такой последовательности не существует, следовательно, ряд расходится.

Геометрическим рядом называется ряд, составленный из членов бесконечной геометрической прогрессии.

Геометрический ряд сходится, если │q│<1 и расходится, если │q│>1