1. Ду первого порядка с разделяющимися переменными и однородные.

ДУ - называется уравнение, которое связывает искомую функцию одной переменной , переменную и производные или дифференциалы искомой функции.

Порядком ДУ называется порядок старшей производной или дифференциала, входящего в запись уравнения.

Решение ДУ называется функция, которая при подстановки в уравнение превращает его в тождество.

Решение ДУ, полученного в неявной форме, называется интегралом ДУ.

Задача о нахождении решения ДУ называется задачей интегрирования данного уравнения. График решения ДУ называется интегральной кривой. Общим решением уравнения n-го порядка называется функция которая является функцией переменной х и производных постоянных с1, с2,… сn.

Частным решением называется решение, полученное из общего при конкретных числовых значениях постоянных с1, с2 и т.д.

Уравнение первого порядка.

Общий вид уравнения первого порядка:+

Уравнение называется разрешенным относительно производной, если оно допускает представление в виде

(1)

Дифференциальная форма записи таких уравнений (1) имеет вид

(2)

Теорема Коши (теорема о существовании единственности ДУ (1))

Если -непрерывна в области, имеет в этой области непрерывную частную производную по у, то какова бы ни была точка принадлежащей области существует и при том единичное решение уравнения (1).

определенное в окрестности точки х0 и .

Геометрический смысл теоремы.

Через каждую точку области проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения (1).

Уравнения с разделяющимися переменными.

Уравнения такого типа м.б. приведены к виду

Уравнение будет уравнением с разделяющимися переменными, если функция f(х, у) и Q(х, у) или f(х, у) можно разложить на множители, каждый из которых зависит только от х или только от у.

Для решения такого уравнения его следует преобразовать так, что в левой части равенства будут функции от у и от оу, а в правой части равенства f от х и dx. Далее нужно проинтегрировать обе части и получить общий интеграл, если можно выразить общее решение. Если при этом заданы начальные условия у(х0)=у0, то из общего решения м.б. найдена частное решение, которое зачастую называют решением задачи Коши для данного уравнения.

Однородные уравнения первого порядка.

ДУ называется однородным первого порядка, если она м.б. представлена в виде

Однородные уравнения сводятся к уравнениям с разделяющимися переменными с заданной

,

следовательно,

,

,

После интегрирования будет найдена функция t(х), зависящая от произвольной постоянной с.

заменив t(x) на найдем общее решение

2. Линейные ду первого порядка. Уравнение Бернулли.

Линейное уравнение первого порядка имеет вид

P(x) и f(x)-непрерывные функции.

Для решения линейных уравнений существует несколько методов.

Метод Бернулли.

Одну из этих функций, например, u(х) находят таким образом, чтобы уравнение имело наиболее простой вид, а затем находят и функцию v(х) из получившегося уравнения с разделяющимися уравнениями.

,

1)

2)

3)

Уравнения Бернулли.

Где f(x)-непрерывная функция, α=/0, α=/1.

Уравнения Бернулли можно свети к линейным уравнениям с помощью замены , но проще решать такие уравнения методом Бернулли.

– удовлетворяет условию

.

Общее решение уравнения находят методом Бернулли, т.к. исходное уравнение является уравнением Бернулли.