3. Ду в полных дифференциалах.

, следовательно,

4. Уравнения допускающие понижение порядка.

Чтобы решить такое уравнение, нужно n раз последовательно проинтегрировать исходное уравнение по переменной х, полученное общее уравнение по переменной х, полученное общее решение будет содержать n производных постоянных с1, с2,… сn.

С помощью замены уравнения такого вида, превращается в уравнение первого порядка. В записи такого уравнения отсутствует у.

В записи таких уравнений отсутствует переменная х.

Чтобы понизить порядок уравнения делают замену .

5. Линейные однородные ду 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Имеет вид

(1)-соответствующее однородное уравнение.

Свойства решения линейных однородных уравнений.

1.Если у - решение уравнения (1), то су так же решение уравнения (1), где с – константа.

2.Если у1, у2 – решение уравнения (1), то их сумма у1+у2 также является решением уравнения (1).

Функции у1 и у2 называются линейно не зависимыми, если

Функции у1, у2, … уn называются линейно зависимыми, если существуют числа λ1, λ2,..λn из которых, хотя бы дно не равно, а линейная комбинация функций с этими числами равна 0.

Функции у1, у2, …. уn называется линейно независимыми, если их мнимая комбинация равна 0 только в том случае, когда все коэффициенты

λ1, λ2,..,λn

Пусть функции у1, у2,….yn (n-1) раз дифференцируемы определителем Вронского для этих функций называется определитель

W=

Если функции у1, у2,…yn является линейно зависимыми, то определитель Вронского, составленный из этих функций тождественно равной 0.

Фундаментальные системы решений линейного однородного уравнения называется функцией у1, у2,…,yn если:

1.каждая из функций является решением этого уравнения;

2.функция у1, у2,…..yn являются линейно не зависимыми.

ФСР для линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами 2-го порядка.

Будем искать решение уравнения (1) в виде

, ,

т.к. (2)

Уравнение (2) является характеристическим для уравнения (1).

1.Характерестическое уравнение имеет положительный дискриминант, т.е. его корни действительны и различны.

, -действительные и различные корни.

-корни характеристического уравнения.

2.Если дискриминант характеристического уравнения равен 0, то его корни совпадают.

k1=k2=k

ФСР=

3.Если дискриминант характеристического уравнения меньше 0, то уравнение имеет комплексные корни, то ФСР имеет вид

ФСР=

Общее решение линейного однородного уравнения имеет вид

у1, у2,....уn-ФСР, а с1, с2,….cn-произвольные константы.

6. Линейные однородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.

Такие уравнения имеют вид

+=0

Этому уравнению соответствует характерное уравнение

+=0

Характерное имеет n корней.

1.Каждому действительному различному корню k в ФСР соответствует одна функция

2.Каждому действительному корню кратности m в ФСР соответствует m функций: , ,

3.Каждой различной паре комплексных корней в ФСР соответствует 2 функции

,

4.Каждой паре комплексных корней

кратности m в ФСР соответствуют 2m функций

, ,

, .

,

.