§2. Операционное исчисление

Комплекснозначная функция действительной переменной f(t) называ- ется оригиналом по Лапласу, если

1) f(t)=0 при t<0,

2) на любом конечном отрезке 0,t f(t) и ее производные суть кусочно-непрерывные функции,

3) f(t) растет не быстрее показательной функции, а именно - показатель роста оригинала.

Преобразованием Лапласа называется функция комплексной переменной

(11)

Для всякого оригинала f(t) преобразование Лапласа F(p) существует и является аналитической функцией в полуплоскости Re p>S₀.

Наряду с термином преобразование Лапласа употребляют термин из-ображение, т. е. говорят, что всякому оригиналу f(t) по формуле (11) ста- вится в соответствие изображение F(p). Кроме того, употребительна за- пись f(t) ≓F(p) или F(p) ≓f(t) , означающая, что f(t) по изображению равна F(p), или точнее: F(p) есть изображение для оригинала f(t).

Имея дело с конкретными оригиналами, будем задавать их только при t  0, помня о том, что при t<0 оригиналы равны нулю.

Перечислим основные свойства оригиналов и изображений

1. Линейность. Изображение линейной комбинации равно линейной комбинации изображений

≓

2. Дифференцирование оригинала. Если f(t) и ее производные суть оригиналы, то справедливы формулы

≓ (12)

и при любом n

≓ (13)

3. Интегрирование оригинала. Если f(t) ≓F(p), то

≓ (14)

4. Дифференцирование изображения. Если f(t) ≓F(p), то при любом n

≓ (15)

5. Интегрирование изображения. Если f(t)≓F(p), и существует интег- рал то

≓ (16)

6. Теорема запаздывания. Если f(t) ≓F(p), и τ>0, то

≓ (17)

7. Теорема смещения. Если f(t) ≓F(p), то при любом комплексном p₀

≓ (18)

8. Теорема о свертке. Если f(t) ≓F(p), g(t) ≓G(p), то

≓ (19)

9. Теорема разложения. Если f(t) ≓F(p), изображение F(p) аналитично всюду, за исключением конечного числа особых точек в конечной части плоскости, и F(p)→0 равномерно относительно аргумента при р → , то

(20)

где сумма вычетов берется по всем особым точкам функции F(p).

Свойства дифференцирования и интегрирования оригиналов позволя- ют сводить названные операции соответственно к умножению и делению на р. На этих свойствах основано применение операционного исчисления к решению дифференциальных, интегральных и интегродифференциаль- ных уравнений и их систем, которые встречаются в радиотехнике.

39. Найдите изображения по заданным оригиналам

а) б) в)

г) д) е)

ж) з) и)

к) .

Р е ш е н и е.

а) По формуле (11) имеем

≓

б) По формуле (11)

≓.

в) Опираясь на формулы Эйлера, свойство линейности и предыдущий пример, будем иметь

≓

≓.

г) Изображение функции coswt может быть найдено аналогично как и для sinwt, или можно воспользоваться дифференцированием оригинала, т. е. формулой (12)

sin wt ≓ ≓ ≓.

д) Применяя свойство дифференцирования изображения, имеем

1 ≓ ≓≓≓ ≓≓

е) Отправляясь от изображения функции sint и применяя формулу (16), будем иметь

sin t ≓ ≓

≓arcctg p.

ж) Применяя формулу (14), получим

≓ ≓.

з) С учетом теоремы смещения

≓ ≓.

и) Применяя теорему смещения, будем иметь

≓ ≓.

к) Пользуясь определением и выполняя замену переменной интегрирования, найдём

≓

≓

40. Найдите оригиналы по заданным изображениям

а) , б) ,

в) , г) .

Р е ш е н и е.

а) После выделения полного квадрата имеем

≓.

Здесь применена теорема смещения, поскольку ≓.

б) Поскольку sin3t ≓, то по формуле (15)

≓ ≓.

в) Раскладываем F(p) на простые дроби и пользуемся свойствами линейности

≓

г) По теореме разложения имеем

41. Решите задачу Коши

Решение. Полагая x(t) ≓X(p), найдем с учетом (13)

≓, ≓

Учитывая еще, что cos t ≓, придем к операторному уравнению

откуда следует, что

или после разложения на простые дроби, будем иметь

≓≓

≓

42. Решите интегральное уравнение

Р е ш е н и е. Полагая (х) ≓(р), учитывая, что cos t ≓ и формулу (19), придем к операторному уравнению

Откуда найдем с учетом теоремы смещения

≓

≓

43. Найдите частное решение интегро-дифференциального уравнения

Р е ш е н и е. Пользуясь теоремой о свертке и свойством дифференцирования оригинала, найдем

Отсюда получим

≓

≓

44. Докажите равенство

≓

где в левой части находится интеграл вероятности

Р е ш е н и е. Введем вспомогательную функцию

и убедимся, что она удовлетворяет дифференциальному уравнению

Действительно, имеем

С учетом того, что f(0)=0 и ≓ перейдем к операторному урав- нению

Итак, мы нашли, что

≓

Вспоминая теорему смещения, окончательно находим

≓ ≓

45. Пользуясь формулой

≓

найдите операционным способом решение краевой задачи

Р е ш е н и е. Применяем преобразование Лапласа по переменной t

≓ ≓

≓

и приходим к краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка

причем нам нужно искать ограниченное в окрестности точки решение. Таковым решением будет, очевидно, функция

≓

Пользуясь определением и свойствами оригиналов и изображений, найдите изображения следующих оригиналов

46. . 47. 48.

49. 50. 51.

52. 53. 54.

55. 56. 57.

58. 59. 60.

61. 62. 63.

64. 65. 66.

67. 68. 69.

70. 71. 72.

73. 74. 75.

76. 77.

78. 79.

80. 81. .

82.

Пользуясь свойствами оригиналов и изображений, разложением изображения на простые дроби или теоремой разложения, найдите оригиналы по заданным изображениям:

83. 84.

85. 86.

87. 88.

89.

91. 92.

Найдите решения дифференциальных и интегральных уравнений, удовлетворяющих заданным условиям

95.

96.

97.

98.

99.

100.

101.

102.

103.

104.

105.

106.

107.

108.

109.

110.

111.

112.

113.

114. 115.

116. 117.

118. 119.

120. 121.