
- •33. Числовыми промежутками (интервалами) называют подмножества всех действительных чисел, имеющих следующий вид:
- •34. Абсолютная величина и её свойства.
- •1)Аналитический.
- •2) Графический.
- •3) Табличный .
- •36.Предел функции и его единственность. Бесконечно малые и их свойства. Связь предела с бесконечно малыми.
- •37.Неограниченные величины. Бесконечно большие и их связь с бесконечно малыми.
- •38.Предел последовательности. Ограниченность последовательности, имеющей предел. Предел монотонной функции.
- •39.Предельный переход в равенствах и неравенствах. Теорема о «двух милиционерах».
- •40. Первый замечательный предел.
- •41. Второй замечательный предел.
- •42. Пределы, связанные со вторым замечательным.
- •43. Арифметические операции над переменными, имеющими предел. Неопределенные случаи.
- •44. Непрерывность функции в точке и на промежутке. Арифметические операции над непрерывными функциями. Условия непрерывности монотонной функции и существования для ней обратной непрерывности.
- •45. Непрерывность сложной функции. Непрерывность основных элементарных и принадлежащих классу элементарных функций.
- •46. Сравнение и порядок бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые и их свойства. Основные примеры эквивалентных бесконечно малых.
- •47.Сохранение знака непрерывности функции. Понятие равномерной непрерывности. Теорема Кантора (формулировка)
- •48. Теоремы Больцано-Коши (с доказательством) и Вейерштрасса (формулировки) о свойствах непрерывных на отрезке функций.
40. Первый замечательный предел.
При вычислении
пределов выражений, содержащих
тригонометрические функции, часто
используют предел
,
называемый первым замечательным пределом. Читается так: предел отношения синуса к его аргументу равен единице, когда аргумент стремиться к нулю.
Доказательство:
Возьмем круг
радиуса 1, обозначив радианную меру угла
MOB через x.
Пусть 0 < x < π/2.
На рисунке |AM|=,
дуга MB численно равна
центральному углу x, |BC|
= tgx. Очевидно, имеем
На основании соответствующих формул
геометрии получаем
Разделим
неравенства на
,
получим
или
.
Так как
,
то по признаку существования пределов
( о пределе промежуточной функции):
41. Второй замечательный предел.
Известно,
что предел числовой последовательности
имеет предел, равный e.
Данное равенство называется вторым замечательным пределом
42. Пределы, связанные со вторым замечательным.
1. Пусть
Каждое
значения x заключено между
двумя положительными целыми числами:
,
где n=[x] –
это целая часть x. Отсюда
следует
поэтому
Если
,
то
.
Поэтому имеем:
По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов:
2. Пусть
Сделаем подстановку –x=t,
тогда
3. И если
произвести замену 1/x =a
(a->0 при x->∞),
то второй замечательный предел запишется
в виде
43. Арифметические операции над переменными, имеющими предел. Неопределенные случаи.
Переменными могут быть функции и последовательности (n->∞).
Пусть
существуют
=a;
1);
2)
3)
4)
;
Доказательство:
1) если
,
то f(x)=a+α(x)
в точке x0;
то g(x)=b+β(x),
где β(x),α(x)
– бесконечно малые.
f(x)+g(x) = a+α(x)+b+ β(x) =a+b+β(x)+α(x), где β(x)+α(x)=γ(x) – бесконечно малая величина.
f(x)+g(x)=a+b+γ(x)
из этого следует, что
;
3) если
,
то f(x)=a+α(x)
в точке x0;
то g(x)=b+β(x),
где β(x),α(x)
– бесконечно малые.
f(x)*g(x) =(a+α(x))*(b+ β(x))=a*b+a*α(x)+ b*α(x)+α(x)*β(x), где a*α(x)+ b*α(x)+α(x)*β(x)=γ(x) бесконечно малая величина.
f(x)*g(x)
= a*b +γ(x),
из чего следует, что
*b;
4) если
,
то f(x)=a+α(x)
в точке x0;
то g(x)=b+β(x),
где β(x),α(x)
– бесконечно малые.
где
=γ(x) – бесконечно малая
величина.
,
что доказывает
Рассмотрим случай, когда получается неопределенность вида [∞/∞]
Вынесем из числителя и знаменателя x^2 и получаем, что неопределенность ушла, а остались только удобные числа. Так дроби у которых в знаменателе x стремятся к нулю, и получился ответ ½.
Таким образом при появлении неопределенности такого рода, необходимо выносить из числителя и знаменателя x в наибольшей степени, и подставлять в полученное выражение ∞.
Также если максимальные степени x в числителе и знаменателе не одинаковы, то ответ можно дать сразу, если в числителе степень больше, то предел равен бесконечности, а если в знаменателе – нулю
44. Непрерывность функции в точке и на промежутке. Арифметические операции над непрерывными функциями. Условия непрерывности монотонной функции и существования для ней обратной непрерывности.
Пусть
функция y=f(x)
определена в точке x0 и в
некоторой окрестности этой точки.
Функция y=f(x)
называется непрерывной в точке x0,
если существует предел функции в этой
точке и он равен значению функции в этой
точке, т.е.
Данное равенство означает выполнение трех условий:
1) функция f(x) определена в точке x0 и её окрестности;
2) функция f(x) имеет предел при x->x0;
3) предел функции в точке x0 равен значению функции в этой точке, т.е. выполняется равенство выше.
Так как
,
то первое равенство можно записать так:
Это означает, что при нахождении предела непрерывной функции f(x) можно перейти к пределу под знаком функции, то есть в функцию f(x) вместо аргумента x подставить его предельное значение x0.
Например,
Предел и функция поменялись местами,
т.к. функция
непрерывна.
Также существует ещё одно определение непрерывной функции: y=f(x) называется непрерывной в точке x0, если она определена в точке x0 и её окрестности и выполняется равенство
т.е. бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
Функция непрерывна в интервале (a,b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Функция
непрерывна на отрезке [a,b],
если она непрерывна в интервале (a,b)
и в точке x=a
непрерывна справа (т.е.
),
а в точке x=b
непрерывна слева
(т.е.
).
Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции. Если x=x0 – точка разрыва функции y=f(x), то в ней не выполняется по крайней мере одно из условий первого определения непрерывности функции.
Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.
Точкой
разрыва первого рода называется точка,
в которой существуют конечные пределы
функции слева и справа ( односторонние
пределы), т.е.
При этом:
а) если А1=А2, то точка x0 называется точкой устранимого разрыва.
б) если A1 ≠ A2, то точка x0 называется точкой конечного разрыва.
Величину |A1-A2| называют скачком функции в точке разрыва первого рода.
Точкой разрыва второго рода называется точка, в которой по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.
Основные теоремы о непрерывных функциях.
T1: Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная ( для частного за исключением тех значений аргумента, в которых делитель равен нулю).
Доказательство:
Пусть функция f(x) и φ(x) непрерывны на некотором множестве X и x0 – любое значение из этого множества. Докажем например непрерывность произведения F(x) = f(x)*φ(x). Применяя теорему о пределе произведения, получим:
Итак мы доказали непрерывность функции f(x)*φ(x) в точке x0.
T2: Если функция y=f(x) непрерывна и строго монотонна на [a,b] оси Ox, то обратная функция y=φ(x) также непрерывна и монотонна на соответствующем отрезке [c;d] оси Oy
Приводится без доказательств.
Из приведенных выше теорем вытекает, что всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.