
- •33. Числовыми промежутками (интервалами) называют подмножества всех действительных чисел, имеющих следующий вид:
- •34. Абсолютная величина и её свойства.
- •1)Аналитический.
- •2) Графический.
- •3) Табличный .
- •36.Предел функции и его единственность. Бесконечно малые и их свойства. Связь предела с бесконечно малыми.
- •37.Неограниченные величины. Бесконечно большие и их связь с бесконечно малыми.
- •38.Предел последовательности. Ограниченность последовательности, имеющей предел. Предел монотонной функции.
- •39.Предельный переход в равенствах и неравенствах. Теорема о «двух милиционерах».
- •40. Первый замечательный предел.
- •41. Второй замечательный предел.
- •42. Пределы, связанные со вторым замечательным.
- •43. Арифметические операции над переменными, имеющими предел. Неопределенные случаи.
- •44. Непрерывность функции в точке и на промежутке. Арифметические операции над непрерывными функциями. Условия непрерывности монотонной функции и существования для ней обратной непрерывности.
- •45. Непрерывность сложной функции. Непрерывность основных элементарных и принадлежащих классу элементарных функций.
- •46. Сравнение и порядок бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые и их свойства. Основные примеры эквивалентных бесконечно малых.
- •47.Сохранение знака непрерывности функции. Понятие равномерной непрерывности. Теорема Кантора (формулировка)
- •48. Теоремы Больцано-Коши (с доказательством) и Вейерштрасса (формулировки) о свойствах непрерывных на отрезке функций.
37.Неограниченные величины. Бесконечно большие и их связь с бесконечно малыми.
Функция g(x) называется неограниченной в точке x0, если:
Функция g(x) называется бесконечно большой (частный случай неограниченной функции), если:
Связь бесконечно большой с бесконечно малой:
Пусть α(x) – бм. и не равна нулю в точке x0.
Для того, чтобы α(x) была бесконечно малой, необходимо, чтобы 1/ α(x) ,была бесконечно большой.
Необходимость:
Док-во: если
α(x) – бм. то
=0
=>
1/α(x) > 1/ε
Пусть 1/ε
=M>, тогда:
Следовательно 1/α(x) – бесконечно большая.
Достаточность доказывается аналогично.
38.Предел последовательности. Ограниченность последовательности, имеющей предел. Предел монотонной функции.
Под числовой последовательностью x1,x2,x3,…,xn понимается функция
xn=f(n),
заданная на
множестве N натуральных
чисел. Кратко последовательность
обозначается в виде {xn}
или xn, n
N. Число x1
называется первым членом последовательности,
xn – общим членом или n-м
членом последовательности.
Последовательность
{xn} называется ограниченной,
если существует такое число M
> 0, что для любого n
N выполняется неравенство
|xn| < = M
Предел последовательности:
Число a называется пределом последовательности {xn}, если для любого положительного ε найдется такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется неравенство |xn-a|<ε
В этом случае
пишут
=
=
a или xn->a,
и говорят, что последовательность {xn}
имеет предел, равный числу a.
Коротко определение предела записывается так:
Ограниченность последовательности, имеющей предел:
Если последовательность имеет конечный предел, то она ограничена.
Док-во:
Дано
.
Запишем определение предела:
-ε<an-a< ε
a-ε<an<ε+a, но
т.к.
– не выполняется для данного условия,
введем новые переменные: m=min{m0;a-ε};
M=max{M0;a+
ε};
тогда m<=an<=M – последовательность ограничена.
Предел монотонной функции:
Признак
существования предела монотонной
функции: Если функция f(x)
монотонна и ограничена при x<x0
или при x>x0,
то существует соответственно её левый
предел
=
f(x-0) или её
правый предел
=f(x0+0)
39.Предельный переход в равенствах и неравенствах. Теорема о «двух милиционерах».
Рассмотрим последовательности {xn}, {yn} и {zn}
Теорема:
Если
=a,
и, начиная с некоторого номера, выполняется
неравенство xn<=yn,
то a<=b.
Доказательство:
Допустим,
что a>b. Из
равенств
следует, что для любого ε
>0 найдется такое натуральное число
N(ε),
что при всех n>N(ε)
будут выполняться неравенства
|xn-a|<ε
и |yn-b|<ε.
Т.е. a-ε < xn <a+ε и b-ε < yn < b+ε. Возьмем ε = (a-b)/2. Тогда xn>a-ε= a-(a-b)/2 = (a+b)/2
Также получаем, что yn<(a+b)/2 -> xn>yn . Это противоречит условию (xn<=yn). Следовательно a<=b
Теорема:
Если
и справедливо неравенство xn<=zn<=yn
(начиная с некоторого номера), то
Примем без доказательств.
Теорема о пределе промежуточной функции:
Если функция f(x) заключена между двумя функциями g(x) и φ(x), стремящимися к одному и тому же пределу, то она также стремиться к этому пределу, т.е. если:
то
Доказательство:
Из равенств пределов вытекает, что для любого ε >0 существует две окрестности δ1 и δ2 точки x0, в одной из которых выполняется неравенство |φ(x) - A|<ε , т.е.
а в другой|g(x)-A|
<
,
т.е.
Пусть δ=min{δ1;δ2}. Тогда в δ-окрестности точки x0 выполняется оба неравенства.
В итоге получаем:
С учетом найденных нами неравенств мы получили что
или
следовательно
мы доказали, что