10.Непрерывная случайная величина Функция распределения случайной величины. Плотность распределения вероятностей. Их свойства.

Определение. Непрерывной случайной величиной называется переменная, которая может принимать случайным образом любые значения в некотором интервале числовой оси

Функцией распределения случайной величины называется функция , выражающая для каждого числа вероятность того, что случайная величина примет какое-либо значение, меньшее числа :

.

Функция распределения определена для всех : , а значения принимает на отрезке , т.к. вероятность любого события находится именно в этих пределах.

Функцией распределения можно характеризовать (в равной степени) и дискретные случайные величины.

Свойство . Вероятность того, что случайная величина примет какое-либо значение , удовлетворяющее неравенству , равна приращению функции распределения на этом интервале:

.

Свойство . Функция распределения равна: от минус бесконечности - нулю, а от плюс бесконечности - единице. Иными словами:

.

Свойство . Функция распределения (любой случайной величины) - неубывающая функция.

. Если функция распределения непрерывна в точке , то вероятность того, что случайная величина принимает значение , равна нулю:

.

Следствие (из свойства ). Для непрерывной функции распределения справедливо следующее:

.

Определение. Плотностью распределения вероятностей (или сокращённо плотностью вероятности) непрерывной случайной величины называется производная от её функции распределения , если только существует эта производная:

.

Свойство . Вероятность того, что случайная величина примет какое-либо значение из замкнутого интервала , равна

.

Свойство . Функция , плотность распределения вероятностей , всегда неотрицательна, т.е.

.

Свойство . .

В силу доказанных сейчас свойств, функция плотности распределения вероятностей всегда неотрицательна (по свойству ). Она стремится к нулю при стремлении и (т.к. по свойству площадь между графиком функции и осью абсцисс равна единице).

11.Основные законы распределения:равномерное распределение,нормальное распределение.

. Случайная величина с плотностью вероятности

, где ,

называется равномерно распределённой величиной.

Равномерный закон распределения используется: при анализе ошибок измерения, когда проводятся численные расчёты; в ряде задач массового обслуживания.

Найдём величину из условия (свойство плотности вероятности):

.

Поэтому , а плотность вероятности равномерно распределённой величины имеет вид:

.

Найдём также функцию распределения равномерно распределённой величины. По свойству для плотности вероятности:

=

.

Определение. Случайная величина имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса), если её плотность распределения вероятностей имеет вид:

,

где и - параметры распределения ().

Нормальный закон распределения наиболее часто встречается на практике. Главная его особенность – он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения (при типичных условиях).

Плотность вероятности - функция, похожая на колокол. Зависимость от параметров такова. При уменьшении только параметра , график функции вытягивается и поднимается вверх по оси ординат. А при увеличении только параметра , график симметрично передвигается вправо вдоль оси абсцисс

12. Основные задачи математической статистики. Выборки. Группированный статистический ряд. Гистограмма.

Задачей математической статистики, раздела современной теории вероятностей, является разработка методов сбора и обработки статистических данных, а также их анализа с целью установления законов распределения наблюдаемых случайных величин.

Генеральной совокупностью является набор всех мыслимых статистических данных при наблюдениях случайной величины

х_Г = {х₁, х₂, х₃, …, х_N} = { х_i ; i=1,N }.

Наблюдаемая случайная величина Х называется признаком или фактором выборки. Генеральная совокупность – есть статистический аналог случайной величины, ее объем N обычно велик, поэтому из ее выбирается часть данных, называемая выборочной совокупностью или просто выборкой

х_В = {х₁, х₂, х₃, …, х_n} = { х_i ; i=1,n }

х_В  Х_Г, n  N.

Для ее построения, разобьем интервал значений выборки R=х_max – x_min на m интервалов h_j = (х_j, х_j+1) длины h = R/m с границами х_j = x_min + h*( j-1). Число элементов выборки х_В, попадающих в интервал h_j, называется частотой n_j интервала, кроме того вводятся следующие величины:

w_j = n_j / n ~ относительная частота интервала,

f_j = w_j / h ~ плотность относительной частоты интервала.

Совокупность интервалов наблюдаемой в выборке случайной величины и соответствующих им частот называется гистограммой выборки.

H_xn = { h_j, n_j }, H_xw = { h_j, w_j }, H_xf = { h_j, f_j }, j=1, m.

, ,

Число интервалов гистограммы m должно быть оптимальным, что бы с одной стороны была достаточной повторяемость интервалов, а с другой стороны не должны сглаживаться особенности выборочной статистики. Рекомендуется значение m  1+3,2*lg(n) . На плоскости (х, n) гистограмма представляется ступенчатой фигурой.

13 Точечные оценки параметров распределения случайной величины по выборке: оценки для математического ожидания и дисперсии случайной величины.

Точечной статистической оценкой параметров распределения или характеристик наблюдаемой случайной величины Х, называется построенная по данным выборки объема n величина:

Оценка ^*_n является так же случайной величиной, т.к. зависит от случайной выборки, поэтому ее можно представить как функцию от случайных величин ^*_n =^*_n(Х₁, Х₂,.., Х_n), где Х_i независимые случайные величины, распределенные так же как и сама величина Х. Для того что бы оценки, получаемые по данным различных выборок соответствовали истинному значению параметра , оценка должна удовлетворять некоторым естественным требованиям:

Оценка должна быть несмещенной, т.е. ее математическое ожидание должно совпадать с истинным значением параметра для любого объема n

М(^*_n) = .

Или хотя бы асимптотически несмещенной .

Оценка должна быть состоятельной, т.е. с ростом объема выборки оценка должна сходится по вероятности к истинному значению параметра

для любого > 0 .

Для состоятельности оценки достаточно выполнения следующего:

,

действительно, из неравенства Чебышева для случайной величины ^*_n

следует состоятельность оценки.

Построенная оценка для использования на практике должна быть эффективной, т.е. ее дисперсия должна быть минимальной среди всех возможных оценок при фиксированном объеме выборки

D(^*_n,эф) = min D(^*_n).

Величину дисперсии эффективной оценки можно найти используя неравенство Рао-Крамера , где - информация Фишера. Коэффициент эффективности оценки k_эф(^*)= D(^*_n,эф)/ D(^*_n) показывает степень эффективности оценки ^*, если , то говорят об асимптотической эффективности оценки.

оценки математического ожидания М(Х) = m и дисперсии D(Х) = ² наблюдаемой случайной величины X. Построим точечные оценки:

,

и рассмотрим их свойства. Поскольку М(Х_i) = m и D(Х_i) = ² то можно вычислить, что для оценки m^* справедливо:

М(m^*) = m; D(m^*) = ² /n  0 при n  

Из этого следует несмещенность и состоятельность оценки m^*.

Рассматривая же оценку ^2* можно получить:

; 

Из чего следует состоятельность, но и смещенность оценки ^2*. Смещеность оценки здесь легко может быть исправлена. Рассмотрим оценку

.

Оценка ^2*=S² является уже несмещенной и состоятельной оценкой. Величина S² называется исправленной (уточненной) выборочной дисперсией, а величина S исправленным среднеквадратическим выборочным отклонением (выборочный стандарт).

14.Интервальные оценки. Методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины, заданной нормальным законом распределения.

В отличие от точечных оценок типа ^*_n интервальные оценки задают интервал значений где оцениваемый параметр находится с заданной вероятностью, т.е. это оценки типа Р( ^*_n) = 

Надежностью оценки (доверительной вероятностью) называется вероятность , с которой оцениваемый параметр находится в интервале

^*_n_ ^*_n_ .

Полуширина доверительного интервала _ называется точностью оценки, соответствующей надежности . Для построения доверительного интервала (нахождения по  величины _) необходимо знать закон распределения оценки случайной величины ^*_n .