9.Математическое ожидание дискретной случайной величины. Его свойства. Дисперсия и среднеквадратичное отклонение дискретной случайной величины. Их свойства.

. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений:

.

Свойства математического ожидания

Свойство . Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной

.

­ Доказательство. Действительно, пусть случайная величина равна с вероятность . Тогда по определению математического ожидания:

.

Что и требовалось доказать.

Свойство . Постоянный множитель можно вносить за знак математического ожидания

, где .

Доказательство. Докажем для случайной величины , которая принимает конечное число значений . По определению математического ожидания:

.

Отсюда, вынося константу за знак суммы, получим:

.

Что и требовалось доказать.

Свойство . Математическое ожидание суммы конечного числа случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин:

.

Доказательство. Докажем для математического ожидания величины, составленной из суммы двух случайных величин и , причем случайная величина , принимает конечное число значений , а случайная величина , принимает конечное число значений . Тогда математическое ожидание суммы двух величин и равно:

.

Попробуем разобраться с первой двойной суммой

.

В ней от значения не зависит внутренняя сумма, поэтому вынесем за знак этой суммы:

.

Событие, состоящее в том, что примет значение (вероятность этого события равна ), влечёт за собой событие, которое состоит в том, что примет значения

или или ,

а вероятности этих несовместных событий равны соответственно:

или или .

Тогда вероятность первоначального события равна (по теореме о сложении вероятностей несовместных событий):

.

Поэтому первая двойная сумма равна:

.

Последнее же равенство следует из определения математического ожидания.

Со второй двойной суммой поступим аналогично, но прежде заметим, что она не изменится, если поменять порядок суммирования:

(Это известное свойство можно проверить, расписав его для случаев или ). А далее (вдоль по проторенной тропе):

.

Поэтому окончательно получаем:

.

Что и требовалось доказать.

Свойство . Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

.

. Дисперсией случайной величины называется величина:

.

Дисперсия говорит о среднем квадрате отклонения от среднего.

Определение. Средним квадратическим отклонением случайной величины называется величина:

.

Среднее квадратическое отклонение говорит о среднем отклонении от среднего.

Для дискретной случайной величины дисперсия (естественно) имеет вид:

.

Для непрерывной случайной величины с плотностью распределения вероятностей дисперсия имеет вид:

.

Свойства дисперсии

Свойство . Дисперсия постоянной величины равна нулю

.

­ Доказательство. Действительно, пусть случайная величина равна с вероятность . Поскольку тогда , то по определению дисперсии

.

Что и требовалось доказать.

Свойство . Постоянный множитель можно вносить за знак математического ожидания, но в квадрате

, где .

Доказательство. Используя определение дисперсии и свойство математического ожидания, получим:

.

Что и требовалось доказать.

Свойство . Дисперсия равна математическому ожиданию квадрата минус квадрат математического ожидания

.

Доказательство. Используя определение дисперсии и свойство математического ожидания, получим:

.

Поскольку математическое ожидание – суть константа, то по свойству , а затем по свойству математического ожидания, приходим к следующему:

.

Теперь, приводя подобные, получаем:

Что и требовалось доказать.

Свойство . Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

, если и - независимы.

Без доказательства (для заинтересовавшихся студентов это доказательство – повод повысить итоговую оценку).

Свойство . Дисперсия случайной величины ограничивает вероятность ее отклонение от своего математического ожидания (неравенство Чебышева П.Л.:.