5.Независимые события. Теорема умножения вероятностей.

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного события на произведение условной вероятности другого события при условии, что первое событие произошло:

.

два события и называются независимыми, если

6.Формула полной вероятности

Если событие может осуществляться только при выполнении одного из событий , которые образуют полную группу

несовместных событий, то:

.

­Доказательство. Представим событие как событие, умноженное на достоверное событие (от этого результат не изменится), а достоверное событие как сумму всех событий :

.

Тогда по формуле сложения вероятностей (события - несовместные, а значит и события совместно произойти не могут) вероятность суммы равна сумме вероятностей:

.

Далее по формуле умножения вероятностей получаем искомое соотношение:

.

Что и требовалось доказать.

Отметим, что события называют часто гипотезами

7.Повторные независимые испытания. Схема и формула Бернулли

Пусть вероятность того, в независимых испытаниях событие наступит ровно раз, равна . Тогда имеет место следующая теорема.

Теорема (формула Бернулли).

,

где - число сочетаний из по , - вероятность события , - вероятность события (т.е. вероятность не наступления события ).

Доказательство. Начнём с малого. Пусть обозначает исходное событие, т.е. появление ровно раз события в независимых испытаниях (вероятность появления в одном испытании, напомню, равняется ).

Событие может, например, появиться (событие ) следующим образом: вначале испытаний событие наступает ровно раз, а затем оно раз не наступает (значит, наступит противоположное событие ):

.

Найдём вероятность этого события. Поскольку все события независимы («вероятность произведения равна произведению вероятностей»), то:

.

А вероятность найдём исхитрившись. События и образуют полную группу, т.е.

.

Кроме того, они несовместны (т.к. вместе произойти не могут). Поэтому («вероятность суммы равна сумме вероятностей»):

,

Откуда:

.

Поэтому

.

Но событие может появиться и другим образом. Например,

.

Нетрудно убедиться в том, что вероятность по-прежнему равна:

.

Но как пересчитать все эти возможности (ясно, что они все выбираются несовместными, а поэтому будет равно числу (сумме) всех этих возможностей умноженной на )? Число всех возможных таких вариантов событий равно , числу способов, которыми можно расположить чисел по местам (при этом порядок, занимаемый числами, не имеет значение):

числа располагаются по местам (событие ),

числа располагаются по местам (событие ),

и т.д.

Поэтому

.

8.Понятие случайной величины.Закон распределения случайной величины.

Определение. Переменная , принимающая в результате испытаний случайным образом одно и только одно из конечной или бесконечной последовательности значений , называется дискретной случайной величиной, если каждому значению соответствует определённая вероятность того, что переменная Определение. Зависимость вероятности от значения называется законом распределения вероятностей дискретной случайной величины.

Закон распределения удобно задавать в виде таблицы:

Значения случайной величины ()
Вероятности значений ()

Получается так называемый ряд распределений дискретной случайной величины.

Причём (что очень важно !) события - несовместные и единственно возможные (переменная принимает одно и только одно значение), поэтому (по теореме сложения вероятностей и т.к. в итоге получается достоверное событие):

примет значение .