Глава 5 Элементы теории потребительского потребления

1. Отношение предпочтения и функция полезности.

Как уже отмечалось основной целью потребителя является удовлетворение его потребностей. Поведение потребителя, рассматриваемое с точки зрения рационального распределения своего бюджета математически моделируется как выбор некой точки из пространства товаров. Под пространством товаров понимается неотрицательный ортант пространства

(множество векторов неотрицательных компонентов) .

Каждая точка ортанта представляет собой ассортиментный набор товаров и благ. Величина обозначает количество i-ого товара , приобретенного потребителем при выбранной единице его измерения. Термин "товар" при этом понимается достаточно широко. Прежде всего имеется ввиду материальные продукты: предметы потребления, фонды (но уже не как макроэкономическая переменная, а как конкретные виды станков и машин т.д.), природные ресурсы. Кроме того, к товарам в данном случае относятся услуги(посещение театров, использование прачечной). Рабочая сила также может рассматриваться как товар, он измеряется во временных единицах. Считается , что все товары обладают свойством произвольной делимости, так что может быть куплено любое неотрицательное количество каждого из них.

Пусть – выпуклое множество, на котором определены интересы потребителя. Можно например считать, что – множество всех мыслимых наборов товаров, доступных потребителю. Любые два вектора потребитель может сравнивать и делать из них выбор. Этот выбор зависит от вкуса потребителя, его бюджета и цен на товары. Поэтому считаем , что на задано бинарное отношение "", называемое отношением предпочтения. Запись (x предпочтительнее y)означает, что потребитель предпочитает набор x набору y, если не делает между ними различия. Содержательный смысл отношения предпочтения требует выполнения следующих аксиом:

Аксиома 1:

Аксиома 2: , то

Аксиома 3: , либо , либо . Если и , то будем писать, что , это отношение называется отношением безразличия. Если , но не имеет места , то будем писать что ( строго предпочтительнее ). Отношение "" называется отношением строгого предпочтения.

Аксиома 4: Отношение является непрерывным на , т.к. при множества и открыты в .

Содержание аксиомы 4: если 2 набора находятся в отношении , то при достаточно малом изменении каждого из них данное отношение сохраняется.

Функция , определенная на , называется функцией полезности, соответствующей отношению , если .

Нетрудно видеть, что если - функция полезности, а - строго возрастающая функция скалярного аргумента, то -также функция полезности (ФП), таким образом, если для отношения предпочтения существует хотя бы одна ФП, то их существует бесконечно много.

Теорема Дебре

При выполнении аксиом 1-4 функция полезности существует

(без доказательства)

Аксиома 5 (аксиома ненасыщения):

Эти требования означают, что если содержит не меньшее количество товара, чем , то . В тоже время если содержит не меньшее количество каждого товара, а одного товара , по крайней мере содержит больше чем , то строго предпочтительнее чем .

В терминах ФП аксиома ненасыщения утверждает следующее :

Следующее требование связано с законом убывающей полезности:

Аксиома 6 (аксиома выпуклости):

Пусть , тогда .

В терминах ФП это означает, что при , множество является выпуклым. Довольно часто на ФП накладываю более сильные условия, считая ее вогнутой или даже строго вогнутой. В этом случае функция будет вогнутой (строго вогнутой) по каждому аргументу. Последнее свойство непосредственно следует из закона убывающей полезности (смотри конспект семинарских занятий).

Пример:

Пусть - набор продуктов питания, - энергетическая ценность (в Ккал) единицы -ого продукта . Считаем, что , если , то есть, если набор не менее калорийный чем .

Такое отношение предпочтения удовлетворяет аксиомам 1-6 , а функция является ФП.