Эквивалентность

На основании перечисленных выше свойств отношения можно разбить на отдельные группы, произвести их классификацию.

Определение 16. Эквивалентностью называют отношения, которые одновременно рефлексивны, симметричны и транзитивны, т.е.

(эквивалентность)

Таким образом, к эквивалентностям относятся такие отношения: «быть однополчанином», «быть членом той же партии, что и …», «быть тезкой», «быть единомышленником», «быть одной веры с …», «иметь тот же остаток при делении на 5», «и много, много других.

Отношение эквивалентности тесно связано с разбиением множества . Эту связь отражает следующая теорема.

Теорема 4. Задание отношения эквивалентности на конечном множестве равносильно разбиению этого множества.

Доказательство. Необходимость. Пусть на конечном множестве задано отношение эквивалентности с областью истинности . Проведем следующее построение.

Выберем некоторый элемент и построим подмножество из всех элементов, эквивалентных , т.е. . Из множества удалим все элементы, содержащиеся в подмножестве . Получим множество . Если , то построение завершено. В противном случае снова выберем некоторый элемент и, построив подмножество , удалим его из , получая множество . Процесс нашего построения будет завершен, как только будет получено пустое множество , а результатом этого построения станет совокупность подмножеств ,, …, , которая, согласно нашему построению, будет удовлетворять следующим условиям:

Следовательно, данное множество {, , …, } подмножеств множества (согласно определению разбиения) есть разбиение последнего. Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть теперь задано разбиение {, , …, } множества . Рассмотрим на нем отношение «принадлежать одному и тому же подмножеству». Данное отношение рефлексивно (любой элемент принадлежит тому же подмножеству, в котором сам и находится), симметрично (если принадлежит тому же подмножеству, что и , то и принадлежит тому же подмножеству, что и ) и, наконец, транзитивно (если принадлежит тому же подмножеству, что и , а принадлежит тому же подмножеству, что и , то принадлежит тому же подмножеству, что и ). Следовательно, данное отношение есть эквивалентность. Теорема доказана.

Замечание 1. Данная теорема легко распространяется на случай бесконечного множества . При этом алгоритм построения, описанный в первой части доказательства, будет работать сколь угодно долго, формируя конечное или бесконечное множество {,, …, , …}.

Замечание 2. Формируемые при работе описанного выше алгоритма подмножества ,, …, называют классами эквивалентности. Например, отношение «иметь тот же остаток при делении на 5» разобьет множество натуральных чисел на такие пять классов эквивалентности: класс чисел, кратных пяти (числа, остаток которых при делении на 5 равен нулю); класс чисел с остатком при делении на 5, равным 1; класс чисел с остатком при делении на 5, равным 2; класс чисел с остатком, равным 3; класс чисел с остатком, равным 4. Классами эквивалентности отношения «иметь то же социальное происхождение» будут социальные группы: рабочие, служащие, крестьяне и т.д.

Замечание 3. Непересекаемость классов эквивалентности (т.е. условие ) обеспечивает непротиворечивость деления множества на классы (каждый элемент принадлежит не более чем одному классу), а условие говорит о полноте системы этих классов (любой элемент из принадлежит какому-либо классу).

Замечание 4. Данная теорема имеет применение не только в математических науках. Любая научная теория так или иначе, связана с классификацией объектов, составляющих область ее исследований. Для успешного осуществления этой классификации необходимо найти отношение эквивалентности между объектами. Если будет найдено отношение, которое одновременно рефлексивно, симметрично и транзитивно, то оно определит непротиворечивую и полную классификацию изучаемого разнообразия.

Представляет определенный интерес рассмотреть последствия, к которым приводит отсутствие свойства транзитивности в рефлексивных и симметричных отношениях.

Вопросы для самоконтроля

1. Какие отношения из нижеследующих являются эквивалентностью? а) «быть того же цвета»; б) «быть кратным тому же числу»; в) «иметь тот же наибольший общий делитель»; г) «иметь хотя бы одно общее свойство».

2. Для приведенных выше отношений эквивалентности определите их классы эквивалентности.