Глава 2. Морское волнение как случайный процесс

2.1. Основные положения. Законы распределения

При расчетном прогнозировании параметров колебательного движения (качки) судов на взволнованной водной поверхности, силовых воздействий на конструкции корпуса и его динамических реакций необходимо иметь ясное представление о вероятностных характеристиках волнения как процесса возмущения, действующего на рассматриваемую динамическую систему – судно (корпус, которого идеализируется в виде абсолютно жесткого или упругого тела) с окружающей его жидкостью. Естественно, что степень достоверности прогнозов непосредственно связана с полнотой данных о процессе морского волнения и совершенством его математического описания.

Колебательные движения жидкости (гравитационные волны), наблюдаемые на водных акваториях, весьма разнообразны. К ним относятся:

- ветровые волны, вызываемые и поддерживаемые ветром, действующим на свободную поверхность воды;

- волны мертвой зыби, остающиеся после прекращения действия ветра или почти не управляемые относительно слабым ветром (поскольку эти волны энергоемки и развились под воздействием сильного ветра в относительно далеком прошлом);

- корабельные волны, создаваемые движением тел по свободной поверхности жидкости или вблизи нее;

- морские приливы и отливы, вызываемые силами притяжения Луны и Солнца;

- сейши – медленные колебания уровня воды во всем бассейне, обусловленные колебаниями атмосферного давления;

- сейсмические волны (например, цунами), возникающие в результате подводных землетрясений.

При выполнении судостроительных расчетов важно знать свойства и характеристики первых трех названных типов волн, поскольку суда не реагируют на другие типы волн, потому что, во-первых, периоды остальных волновых движений во много раз больше периодов собственных колебаний судов, и, во-вторых, взаимодействие с такими волнами, как правило, не сопровождается ударными явлениями. В дальнейшем изложении также не рассматриваются капилярные волны, имеющие очень малую (по отношению к размерениям судна) длину и образующие на поверхности жидкости так называемую “волновую рябь”. Относительная энергия этих волн ничтожно мала по сравнению с энергией гравитационных ветровых волн.

Ветровое волнение и волновая зыбь, которые носят общее название морского волнения, практически всегда являются нерегулярными, т.е. представляют собой чередование волн с различными значениями высоты и длины. Морское волнение, представляющее собой сочетание ветрового волнения и зыби, называют смешанным волнением. Установившееся ветровое волнение, наблюдаемое при достаточно долгом существовании стационарного ветрового режима, в определенном интервале времени может рассматриваться как стационарный случайный процесс. Если волнение находится в стадии развития или затухания, то его стационарность нарушается. Однако и в случаях развивающегося или затухающего ветрового волнения на протяжении ограниченных отрезков времени эти процессы могут приближенно считаться стационарными.

Если взволнованную поверхность водного бассейна можно представить в виде цилиндрической, то такая модель волнения называется двумерной, а волна – плоской (рис.2.1). Двумерное волнение, состоящее из одинаковых волн, называется регулярным. Часть сечения волновой поверхности, расположенная выше среднего уровня водной поверхности, называется гребнем, а находящаяся ниже – ложбиной. Наивысшая точка гребня – вершина волны, а наинизшая точка ложбины – подошва. У крутых волн обычно ложбина волны имеет более пологие очертания, чем гребень. Высотой волны h называют вертикальное расстояние между вершиной и подошвой волны.

Рис.2.1. Профиль плоской волны: а) при нерегулярном волнении; б) при регулярном волнении.

Реальная взволнованная поверхность моря или другой открытой водной акватории вообще говоря не является цилиндрической, поэтому морское волнение всегда в некоторой степени является трехмерным. Для описания процесса морского волнения в настоящее время широкое распространение получила линейная модель. Такая модель представляет собой изменяющуюся во времени и пространстве взволнованную поверхность в виде суперпозиции большого (бесконечного) числа регулярных волн, каждая из которых обладает свойствами прогрессивных волн малой амплитуды. Применительно к двухмерному нерегулярному волнению спектральные составляющие считают распространяющимися в одном направлении. При этом даже в простейшем случае – при распространении двух волн (рис. 2.3) – в результате их наложения образуются группы волн или волновые пакеты. Для описания трехмерного волнового процесса прибегают к модели, в которой складываются элементарные прогрессивные волны, бегущие под различными углами к генеральному направлению распространения волн (рис. 2.3). Использование подобного представления волнового процесса оказывается эффективным и широко используется при выполнении судостроительных расчетов.

Рис.2.2. Наложение двух регулярных волн (двух процессов, изображенных в верхней части рисунка) и образование в результате групп волн, представленных процессом в нижней части рисунка.

Рис.2.3. Реальная поверхность жидкости при нерегулярном волнении как результат суммирования отдельных регулярных процессов волнения.

Из теории гравитационных волн малой амплитуды [68] следует, что профиль каждой регулярной волны (элементарной составляющей нерегулярного волнения) может быть задан уравнением

, (2.1)

где r_i — амплитуда волны; _i. — частота волны; _i — длина волны;  и  — горизонтальные координаты; _i. — угол между направлением распространения волны и осью ; _i — фазовый угол.

Учет трехмерности имеет определенное значение при определении вероятностных характеристик таких выходных процессов, как волновые моменты, и может быть произведен в рамках спектральной теории волнения.

С ростом балльности волнения эффект трехмерности уменьшается. Если приближенно рассматривать волнение как двухмерное, то его ординаты могут быть представлены в виде

(2.2)

при прежних обозначениях.

Многими исследованиями установлено, что при данном стационарном режиме волнения распределение волновых ординат практически следует нормальному закону распределения с нулевым математическим ожиданием, т. е.

(2.3)

где р() — плотность вероятности распределения ординат волнения ; _ = —стандарт ординат процесса волнения; D_—дисперсия волновых ординат.

К настоящему времени накоплен значительный экспериментальный материал, относящийся к распределению амплитуд и высот волн. Эксперименты показывают, что краткосрочное распределение амплитуд и высот волн (для записи интенсивного волнения в течение 20—30 мин) достаточно удовлетворительно согласуется с законом Рэлея

. (2.4)

В соответствии со свойствами распределения Рэлея дисперсия и среднее значение высот волн связаны соотношением

.

Вводя обозначение

, (2.5)

запишем (2.4) в виде

. (2.6)

Величина , равная удвоенной дисперсии процесса, представляет среднюю из квадратов величин r. То обстоятельство, что в данном режиме волнения распределение амплитуд и высот подчинено закону Рэлея, позволяет легко связать высоты волн определенной обеспеченности с дисперсией волновых ординат.

Вероятность превышения (обеспеченность) амплитудой волны выбранной величины на основании формулы (1.4) будет

. (2.7)

Логарифмируя (2.7), можно получить

, (2.8)

где k — величина обеспеченности, выраженная в процентах.

Соответственно, для высот волн получим взамен (2.7) и (2.8)

; (2.9)

h_k% = 2.

В отечественной практике для характеристики интенсивности волнения используется высота волны с обеспеченностью 3% (h_3%). На основании зависимости (2.9) получим

. (2.10)

Из (2.10) вытекает следующая связь между дисперсией волновых ординат и высотой волны h_з%

. (2.11)

В зарубежной литературе для характеристики интенсивности волнения обычно используется «значительная высота волны», а иногда - «максимальная высота волны». Под «значительной высотой волны» (significant wave height) понимается средняя из одной трети наибольших высот волн, а «максимальной» называется средняя из одной десятой наибольших высот. Эти величины, обозначаемые соответственно h_1/3 и h_1/10, будут:

=0,755 h_з%;

=0,963 h_з% .

По имеющимся в материалах международных конгрессов по прочности и конструкции судов [31, 95] данным, «значительная высота волны» h_1/3 близка к визуально наблюдаемой высоте волн.

В соответствии с законом Рэлея принципиально допускается появление волн со сколь угодно большой высотой. Однако известно, что при росте крутизны волны и достижении ею некоторого предельного значения наступает гидродинамическая неустойчивость процесса волнения и происходит быстрое изменение волнового профиля (волна обрушается) [68]. Соотношение между наибольшей высотой плоской волны , возможной при данной длине , выражающее предельную крутизну волны, определяется равенством

.

В соответствии с решением Митчелля обрушению волны соответствует значение . Исследования Т.В. Дэвиса дают близкое значение , равное 0,144 [6]. На основе этого критерия разрушения волн рассчитаны наибольшие значения высот при различных интенсивностях волнения [6]. На рис. 2.4 эти значения приведены в сопоставлении с наибольшими высотами волн, зарегистрированными волномерным буем.

Рис.2.4. Сопоставление расчетных оценок наибольшей высоты волны трехмерного волнения (сплошная линия) с данными наблюдений (точки) [6].

Наличие ограничений на высоты волн дает основание для уточнения их вероятностного распределения и замены формулы (3.4) усеченным справа законом Рэлея:

(2.12)

Принятая в отечественной практике шкала балльности волнения приводится в табл. 2.1.

Таблица 2.1

Шкала балльности волнения отечественной гидрометеорологической службы (1953 г.)

Степень волнения, баллы	Характеристика волнения	Высота волны h3%, м
0 I II III IV V VI VII VIII IX	Отсутствует Слабое Умеренное Значительное -“- сильное -“- очень сильное -“- исключительное	0 0-0.25 0.25-0.75 0.75-1.25 1.25-2.0 2.0-3.5 3.5-6.0 6.0-8.5 8.5-11.0  11.0