4.4. Методы статистической линеаризации

Методы анализа линейных механических систем хорошо разработаны, поэтому естественно распространить их и для случая анализа нелинейных систем (хотя бы и приближенного). С этой целью рассмотрим статистическую линеаризацию нелинейных элементов механических систем. Методы статистической линеаризации основываются на замене нелинейной характеристики безынерционного элемента механической системы эквивалентной в вероятностном смысле линейной характеристикой, в результате чего система линеаризуется, и для ее анализа используют теорию, развитую применительно к линейным системам. Необходимо отметить, что линеаризованное звено существенно отличается от линейного тем, что в линейном случае характеристика элемента (коэффициент усиления) не зависит от параметров входного сигнала, а при линеаризации коэффициент усиления линеаризованного звена зависит от входного воздействия.

Статистическая линеаризация нелинейных звеньев. Пусть значение процесса Y(t) на выходе нелинейного звена как функция от входного воздействия X(t) определяется выражением

, (4.7)

где ,—некоторая нелинейная функция. Пусть известна одномерная плотность распределения вероятностей возмущения X(t) на входе звена. Заменим нелинейное звено эквивалентным линейным звеном, преобразующим процесс на входе согласно равенству

,

где — процесс на выходе линеаризованного звена; — центрированный входной процесс; — математическое ожидание процесса X(t); — коэффициент статистической линеаризации звена по случайной составляющей; —постоянная составляющая сигнала на выходе линеаризованного звена (средняя статистическая характеристика нелинейности).

Задача статистической линеаризации состоит в том, чтобы так выбрать коэффициент статистической линеаризации по случайной составляющей и среднюю статистическую характеристику нелинейности , чтобы процессы Y(t) и были близки друг к другу (в определенном смысле). Оценку близости процессов можно производить по различным критериям. Можно, например, потребовать, чтобы математическое ожидание квадрата разности было минимальным, и из этого условия выбирать параметры и .

Вычислим значения и для данного случая; для среднего значения квадрата разности Y(t)- имеем

(4.8)

Здесь

Для минимизации выражения для  продифференцируем его по и . Приравнивая затем результаты дифференцирования к нулю, получаем

Отсюда следуют выражения для вычисления параметров статистической линеаризации

(4.9)

Параметры статистической линеаризации можно выбрать и из другого условия, отличного от критерия минимума . В частности, можно потребовать равенства значений математического ожидания и дисперсии процессов Y(t) на выходе нелинейного звена и на выходе эквивалентного ему статистически линеаризованного звена:

(4.10)

На основе свойств линейного преобразования случайного процесса имеем

Откуда с учетом принятых критериев линеаризации (4.10) можно записать

. (4.11)

Таким образом, в этом случае выражения для параметров статистической линеаризации имеют вид

(4.12)

В общем случае безынерционные звенья динамической системы могут иметь несколько входов, в этом случае они описываются нелинейными функциями от нескольких коррелированных входных процессов

, (4.13)

где — произвольная однозначная нелинейная функция.

Для статистически линеаризованной нелинейности представим процесс на выходе нелинейности в виде

(4.14)

Статистическую характеристику и коэффициенты статистической линеаризации k_i найдем из условия минимума математического ожидания квадрата разности

(4.15)

Дифференцируя выражение (4.15) по аргументам и и приравнивая полученные результаты нулю, получаем

(4.16)

Решая систему (4.16) из n+1 линейных алгебраических уравнений с n+1 неизвестными, находим параметры статистической линеаризации и k_i.

В частном случае, при попарно некоррелированных переменных () имеем

откуда получаем

(4.17)

где D_i – дисперсия входного процесса

Для вычисления статистической характеристики нелинейности и коэффициента статистической линеаризации по формулам (4.9), (4.12) и (4.17) необходимо знать функцию плотности распределения вероятностей , которая на практике обычно неизвестна. В методе статистической линеаризации обычно допускают, что случайная функция X(t) на входе нелинейности распределена по нормальному закону, т. е.

.

Такое допущение обычно обосновывается тем, что нелинейные элементы в динамических системах соединяются последовательно с линейными элементами, которые нормализуют закон распределения процесса на выходе в случае, когда полоса пропускания звена значительно уже спектра приложенного к этому звену входного процесса.

Для нелинейностей с многими входами также предполагают, что плотность распределения вероятностей многомерного вектора является нормальной, т. е.

.

где —вектор математических ожиданий входных процессов, — матрица корреляционных моментов входных процессов.

Использование методов статистической линеаризации может привести к значительным ошибкам при наличии зависимости коэффициентов системы (4.1) от времени, поскольку приведение нелинейных элементов системы к линейному виду с постоянными параметрами, не зависящими от времени, исключает возможность учета усиления колебаний с частотой  за счет возмущений, действующих на других частотах (например, на частоте 2), и, следовательно, делает невозможным учет “переноса” энергии с одних частот на другие 60.