1.6. Моделирование внешних воздействий методом неканонических разложений стационарных случайных функций

Линейные формы представлений случайных процессов как функций некоторых случайных в виде канонического разложения (1.4) или спектрального разложения (1.10) хороши при анализе линейных механических систем и не всегда удобны при исследовании нелинейных систем из-за того, что эти приближенные математические модели содержат большое число случайных величин. Для того чтобы снизить число аргументов (случайных величин), целесообразно строить представления случайных процессов в виде нелинейных функций случайных величин.

Пусть нам известно, что случайная функция X(t) имеет математическое ожидание и корреляционную функцию (t – t' = ). Требуется указать способ построения математической модели случайной функции X(t) по заданным ее вероятностным характеристикам и .

В качестве критерия соответствия построенной модели заданным вероятностным характеристикам естественно принять требование тождества математических ожиданий и корреляционных функций. В этом случае обычно говорят о тождестве случайных функций в пределах корреляционной теории.

Рассмотрим математическую модель случайной функции вида

, (1.44)

где — некоторые случайные величины. Можно доказать, что при определенном выборе вероятностных характеристик случайных величин эта модель X(t) будет иметь математическое ожидание и корреляционную функцию, равные заданному значению и заданной функции .

Построение реализации по формуле (1.44) не вызывает особых затруднений. Необходимые для этой операции значения случайных величин можно легко получить при помощи различных алгоритмов для получения псевдослучайных чисел или специальных приборов (датчиков случайных чисел) [З].

Предположим, что случайные величины независимы, причем математические ожидания случайных величин равны нулю. Тогда математическое ожидание процесса вида (2.44)

так как по предположению

Исходя из выражения (2.25), запишем

(1.45)

где — дисперсия случайной функции , - нормированная корреляционная функция.

Вычислим корреляционную функцию, соответствующую модели (2.44):

Если предположить, что

(1.46)

то мы получим

(1.47)

Из формул (1.45) и (1.47) следует интегральное уравнение для определения неизвестной функции , являющейся по смыслу плотностью распределения вероятностей случайной величины

(1.48)

Сравнивая уравнение (1.48) с первой формулой (1.26), заключаем, что плотность равна нормированной спектральной плотности процесса (см. формулу(1.25) ):

(1.49)

Отметим, что найденное решение (1.49) интегрального уравнения (1.48) удовлетворяет всем свойствам плотности распределения вероятностей.

Действительно, , так как ;

Таким образом, если случайные величины независимы, математические ожидания случайных величин равны нулю, их дисперсии равны заданной дисперсии случайной функции , а плотность распределения случайной величины равна нормированной спектральной плотности функции , то модель (1.44) будет представлять стационарную случайную функцию в пределах корреляционной теории. Более того, ниже будет показано, что если случайные величины подчиняются закону Рэлея, то модель (1.44) описывает стационарный узкополосный нормальный процесс .

Этот факт является достаточным обоснованием указанного выше способа построения математической модели случайной функции .

В отличие от канонического разложения, представляющего случайную функцию в виде ряда с бесконечным числом случайных величин, представление случайной функции по формуле (1.44) называют неканоническим. Оно содержит всего лишь три вспомогательные случайные величины.

Заметим, что неканоническое разложение можно представить и в другом виде:

, (1.50)

где — некоторые случайные величины. Можно показать, что эта модель обладает такими же свойствами, что и (1.44).

Пользуясь формулой косинуса суммы двух углов, перепишем (1.50) следующим образом:

. (1.51)

Обозначим

. (1.52)

Покажем, что случайные величины в (1.52) центрированы и некоррелированы:

Дисперсии случайных величин одинаковы. Действительно,

Таким образом, все требования, предъявляемые к случайным величинам в модели (1.44), выполнены и (1.51) с учетом обозначений (1.52) может быть записано в виде , полностью совпадающем с видом формулы неканонического разложения стационарного СП (1.44).

Установим условия, при которых функция вида (1.50) может служить моделью стационарного нормального процесса с заданной дисперсией. Для этого введем следующее определение.

Характеристической функцией процесса называется математическое ожидание . Характеристическая функция и плотность вероятности случайного процесса являются парой преобразования Фурье, поэтому является такой же полной характеристикой процесса как и его ПРВ.

В соответствии с приведенным определением отыщем одномерную характеристическую функцию модели (2.50):

(1.52)

Учитывая следующие известные соотношения [2]

,

sin²x + cos²x = 1,

,

где J₀(x)- функция Бесселя нулевого порядка; f(x) - интегрируемая на интервале функция,

преобразуем (1.52) к виду

. (1.53)

Таким образом, характеристическая функция однозначно определяется одномерной ПРВ амплитуд входного процесса (например, морского волнения). При заданной ПРВ процесса (а, следовательно, и известной функции ) задача отыскания требуемой ПРВ p_r(r) сводится к нахождению ее как решения интегрального уравнения (1.53).

Приступая к отысканию этого решения, будем полагать случайную величину R распределенной на интервале [0, ] и преобразуем (1.53) к виду

. (1.54)

Эта формула представляет собой преобразование Ганкеля нулевого порядка [3] для функции p_r(r)/r.

Преобразованием Ганкеля порядка m действительной функции f(t) называется интегральное преобразование

. (1.55)

где J_m(r) - функция Бесселя порядка m. Интеграл (1.55) существует в смысле абсолютной сходимости, если существует . Если при этом f(t) имеет ограниченную вариацию в окрестности точки t, то при m > -1/2 справедлива формула обращения

. (1.56)

Интеграл (1.54) существует при любых плотностях распределения p_r(r) и при всех действительных значениях ₁, поскольку представляет собой одномерную характеристическую функцию модели процесса _м(t).

На основании формулы обращения (1.56) можно записать

. (1.57)

Можно показать, интегрируя правую и левую части (1.57) по r в пределах от нуля до бесконечности, справедливость условия нормировки

.

Докажем справедливость следующего утверждения: если в модели процесса (1.50) случайная начальная фаза  распределена равномерно в интервале [0, 2], то независимо от ПРВ случайной величины  нормальность процесса _м(t) обеспечивается при релеевском законе распределения случайной амплитуды R.

Предположим, что ПРВ входной процесс (волнение) имеет вид

.

Определим характеристическую функцию процесса с этой ПРВ ординат

(1.58)

Подставляя (1.58) в (1.57), получим

. (1.59)

Известен табличный интеграл [2]

В нашем случае k = 0,  = D_/2. Следовательно, (1.59) принимает вид

, (1.60)

т.е. случайная амплитуда R распределена по закону Релея (что и требовалось доказать).

Недостатком математических моделей входного процесса в формах (1.44) и (1.50) является невозможность учета совместного воздействия на динамическую систему нескольких гармонических составляющих в спектре входного процесса и, соответственно, нелинейных взаимодействий между откликами системы на эти составляющие. Для ликвидации этого недостатка и повышения точности вычислений вероятностных характеристик выходного процесса нелинейной динамической системы в целесообразно использование аддитивной формы модели входного процесса. Принимая во внимание дельта-коррелированность отдельных спектральных составляющих случайного процесса, выражающуюся формулой (1.17), математическую модель входного процесса можно записать в виде

(k=1, 2, 3, … , K), (1.61)

в которой каждому из слагаемых соответствуют гармонические составляющие непрерывного спектра S_x случайного процесса , которые содержатся в отдельных его непересекающихся полосах, простирающимся от _k-1 до _k:

(1.62)

где - случайные фазы, распределенные равномерно на промежутке 0, 2; R_k – некоррелированные случайные величины, подчиняющиеся закону Релея с параметром, равным дисперсии нормального процесса (t); _k - случайные величины с ПРВ p_, равной отношению спектральной плотности S_x процесса X(t) на полосе k к дисперсии (дисперсия нормального процесса (t) равна ).

В том случае, когда число полос разбиения спектра достаточно велико дисперсию элементарного процесса (t) можно приближенно определить по формуле , а величину _k считать детерминированной (_k=_k). Тогда процесс может рассматриваться как функция двух случайных величин R_k и :

. (1.63)

К такой же модели элементарного процесса (t) можно придти и другим путем. Используя интерполяцию по Лагранжу, спектральную плотность процесса можно представить в виде

, (1.64)

где - значения спектральной плотности в узлах интерполяции _k; - функция, равная единице в узле интерполяции и нулю в остальных узловых точках.

В этом случае

(1.65)

а модель входного процесса описывается формулами (1.61) и (1.63).

На основе математической модели стационарного СП в виде зависимостей (1.63) и (1.64) может быть построено множество реализаций функции X(t). Если ввести в рассмотрение K–мерную случайную величину , компонентами которой являются величины , то каждый элемент из множества реализаций получается в результате появления (например, с помощью генератора случайных чисел) выборочных значений вектора и вектора с компонентами . Каждому такому значению соответствует своя средняя величина квадрата амплитуды колебаний реализации процесса , которая (с учетом свойств процесса, представляющего сумму нескольких гармонических колебаний) равна

,

где - выборочное значение случайной величины . Таким образом, множество чисел может рассматриваться как выборка некоторой случайной величины с экспоненциальным распределением, со средним значением и дисперсией (см. п. 1.1).