1.3. Спектральная плотность

При спектральном представлении стационарного СП и каноническом разложении корреляционной функции выше использовалось разложение функций в ряд Фурье. Этот ряд представляет собой разложение периодической функции по тригонометрическим функциям на некотором конечном временном интервале от —Т до +T. При наличии периодичности функции и конечности временного интервала число членов ряда конечно, а частоты гармоник образуют дискретный спектр. Это разложение можно обобщить и на случай непериодической функции. Приближенный метод разложения в ряд Фурье для непериодической функции состоит в применении предельного перехода при т.е. непериодическую функцию рассматривают как периодическую при неограниченно возрастающем периоде.

Представив (1.7) в формулу (1.6) запишем разложение корреляционной функции в ряд Фурье в виде

. (1.18)

Перейдем к пределу, устремляя Т к бесконечности и полагая . Величина есть частотный интервал между соседними гармониками, частоты которых равны и . При предельном переходе положим, что при и , а , где — текущая частота, изменяющаяся непрерывно. Сумма в уравнении (1.18) перейдет в интеграл, тогда

(1.19)

Введем обозначение

(1.20)

Тогда (1.19) примет вид

(1.21)

Зависимости (1.20) и (1.21) часто называют формулами Винера-Хинчина. Во многих практических задачах корреляционная функция может быть найдена из данных эксперимента, а спектральная плотность процесса—по зависимости (1.20).

Функция , представимая в форме (1.19), имеет непрерывный спектр. Если ряд Фурье (1.18) дает возможность представить периодическую функцию в виде суммы бесконечного числа косинусоид с частотами, имеющими дискретные значения, то интеграл Фурье (1.21) представляет непериодическую функцию в виде суммы синусоид с непрерывной последовательностью частот. Спектр периодической функции можно изобразить графически (рис. 1.3.). Каждому дискретному значению частоты рис. 1.2 (частоты гармоник ряда Фурье) соответствует определенное значение коэффициента ряда D_k. Спектр, показанный на рис. 1.8, называют дискретным или линейчатым.

Рис. 1.8. Линейчатый спектр СП.

Рассмотрим теперь спектр непериодической функции. В результате предельного перехода от ряда к интегралу Фурье (от конечного интервала времени T к бесконечному) интервалы между отдельными спектральными линиями неограниченно сокращаются, вертикальные линии (см. рис. 1.3) все больше сближаются. Амплитуда D_k каждой отдельной гармоники с частотой уменьшается и в пределе становится бесконечно малой.

Введем обозначение

D_k/₁ =

Величина ₁ = D_k представляет собой ту часть общей дисперсии стационарного СП Х(t), которая приходится на k-ю гармонику. С увеличением периода разложения (T ) ступенчатая (постоянная на любом частотном интервале ) функция не будет постоянно уменьшаться (как величины D_k и ₁), а будет неограниченно приближаться к предельной плавной кривой S_x(), которая представляет собой плотность распределения дисперсий по частотам непрерывного спектра.

Таким образом,

. (1.22)

Поэтому функцию , определяемую как косинус-преобразование Фурье (1.20) корреляционной функции , называют спектральной плотностью (или просто спектром) процесса .

Спектральная плотность S_x() стационарного СП обладает следующими свойствами:

1°. Она является неотрицательной функцией частоты  :

S_x()  0.

Это следует из выражения (1.22), так как предел отношения двух неотрицательных величин D_k  0 и  > 0 не может быть отрицательным.

2°. Интеграл от спектральной плотности в пределах от 0 до  равен дисперсии стационарного СП:

. (1.23)

Это следует из равенства (1.21):

.

Графически эти два свойства спектральной плотности отображены на рис. 1.9. Кривая S_x() спектральной плотности расположена не ниже оси абсцисс, а площадь, ограниченная этой кривой сверху, осью абсцисс снизу и осью ординат слева, равна дисперсии D_x (заштрихованная фигура на рис. 1.4).

Рис. 1.9. Спектральная плотность СП.

По аналогии с нормированной корреляционной функцией

r_x() = k_x()/k_x(0) = k_x()/D_x (1.24)

вводится в рассмотрение нормированная спектральная плотность стационарного СП:

s_x() = S_x()/D_x . (2.25)

Нормированная КФ и нормированная спектральная плотность связаны между собой преобразованием Фурье:

(1.26)

Определим понятие спектральной плотности стационарного СП в комплексной форме. Для этого перепишем каноническое разложение КФ (1.15) в виде

(1.27)

где .

Подставляя в (1.27) выражение для коэффициента , получим

(1.28)

Осуществим аналогичный описанному выше предельный переход, устремляя Т к бесконечности и полагая . При таком переходе положим, как и ранее, что при и , а .Сумма в уравнении (1.28) перейдет в интеграл, тогда

(1.29)

где (1.30)

Функция называется спектральной плотностью стационарного СП в комплексной форме. Ее называют также двусторонней спектральной плотностью. В отличие от обычной (односторонней) спектральной плотности , она определена не только в области положительных частот , но и в отрицательной области (рис. 1.10). Легко показать, что при положительных выполняется соотношение .

Рис. 1.10. Односторонняя () и двухсторонняя () спектральные плотности.

Двусторонние спектральные плотности (также как и разложения процесса X(t) и в комплексной форме) удобны при выполнении теоретических выкладок, но при решении прикладных задач, как правило, эффективнее применять односторонние спектры.

Двусторонняя спектральная плотность стационарного СП обладает тремя свойствами: 1) при любых (положительных и отрицательных) значениях ; 2) (четная функция); 3) интеграл от спектральной плотности в бесконечных пределах равен дисперсии СП

.

Формулы Винера-Хинчина (1.29) и (1.30), а также их аналоги (1.21) и (1.20) являются важнейшими в спектральной теории.