1.4. Системы случайных величин

Функция распределения системы

В практических приложениях теории вероятностей приходится иметь дело с задачами, в которых результаты опыта характеризуются несколькими случайными величинами, образующими систему.

Рассмотрением наиболее простой случай - систему двух случайных величин Х и Y, так как обобщение соответствующих закономерностей на систему п случайных величин не представляет принципиальных затруднений.

Исчерпывающей характеристикой системы двух случайных величин будет двухмерная функция распределения, определяющая вероятность совместного выполнения двух неравенств Х <x, Y<у (вероятность попадания случайной точки в заштрихованную область, изображенную на рис. 1.11), т. е.

Р (X <x, Y <у) = F(х,у).

Рис. 1.11. Геометрическая интерпретация вероятности Р (X <x, Y <у) как вероятности попадания точки в заштрихованную область.

Функция распределения F(х, у) обладает следующими свойствами:

1. F(х, у)—неубывающая функция своих аргументов.

2. ; .

3. .

4. При одном из аргументов, равном , функция распределения системы превращается в функцию распределения случайной величины, соответствующей другому аргументу:

где и — соответственно функции распределения случайных величин Х и Y.

Плотностью распределения системы называется производная

Естественно, что для системы двух случайных величин представляет собой некоторую поверхность. Элементом вероятности называется величина, представляющая собой вероятность попадания точки в бесконечно малый прямоугольник (рис. 1.11) со сторонами и .

Вероятность попадания случайной точки в некоторую конечную область плоскости х, у

.

Законы распределения отдельных величин, входящих в систему. Зависимые и независимые случайные величины

Если известна плотность вероятности отдельных величин, то плотность распределения системы может быть выражена при помощи условных плотностей распределения.

Условной плотностью распределения величины X, входящей в систему (X, Y), называется плотность вероятности X, вычисленная при условии, что величина Y приняла определенное значение, и обозначается р(х/у). Соответственно условная плотность распределения Y обозначается через р(у/х).

Плотность распределения системы выражается зависимостями, выражающими суть теоремы умножения зависимых случайных величин:

. (1.29)

Случайные величины Х и Y считаются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое значение приняла другая величина.

Для независимых случайных величин справедлива формула

. (1.30)

т. е. плотность распределения системы независимых случайных величин равна произведению плотности вероятности отдельных величин.

Числовые характеристики системы случайных величин

Начальным моментом порядка k, s для системы случайных величин называется математическое ожидание произведения на

. (1.31)

Центральным моментом порядка k, s для системы называется математическое ожидание произведения k-й и s-й степени соответствующих центрированных величин

. (1.32)

где — математические ожидания случайных величин Х и Y.

Формулы, по которым могут быть вычислены соответствующие моменты, имеют вид

(1.33)

(1.34)

где р(х, у) — плотность распределения системы.

Очевидно, математические ожидания , а также дисперсии случайных величин определяются зависимостями:

Для системы случайных величин важное значение имеет второй смешанный центральный момент, который называется корреляционным моментом (ковариацией) и обозначается К_ху

.

Для непосредственного вычисления K_ху служит формула

(1.35)

Корреляционный момент характеризует кроме рассеивания случайных величин Х и Y еще и вероятностную связь между ними. Можно показать, что для независимых случайных величин корреляционный момент равен нулю.

Величины Х и Y называются некоррелированными, если .

Если случайные величины некоррелированные, то они не обязательно будут независимыми, т. е. равенство нулю коэффициента корреляции — необходимое, но недостаточное условие независимости.

Заметим, что если одна из величин Х или Y имеет малую статистическую изменчивость, то корреляционный момент будет мал (независимо от того, насколько сильна связь между Х и Y и каков ее характер). Поэтому помимо размерной характеристики вероятностной связи величин Х и Y (ковариации) вводится в рассмотрение безразмерная характеристика - коэффициент корреляции

, (1.36)

где — стандарты случайных величин Х и Y.

Коэффициент корреляции характеризует степень линейной взаимосвязи между случайными величинами и может в общем случае изменяться в пределах .

Если , то между случайными величинами Х и Y существует положительная корреляция; при корреляция отрицательна. При положительной корреляции возрастание одной из случайных величин приводит в среднем и к возрастанию другой.

Если ±1, то между случайными величинами существует линейная функциональная зависимость вида Y = аХ + b, причем знак соответствует знаку коэффициента а.

Обобщая сказанное выше на общий случай системы п случайных величин , отметим, что дисперсии и корреляционные моменты этих величин можно представить в виде корреляционной матрицы такой системы

,

в которой при представляют собой корреляционные моменты величин и , а при - дисперсии (). Приведенная матрица симметрична, поскольку по определению корреляционного момента .

Если случайные величины некоррелированны, то все элементы корреляционной матрицы, кроме диагональных (которые равны дисперсиям), равны нулю, т.е. матрица диагональна.