Из полученного соотношения следует
.
Воспользовавшись формулой для полной вероятности, окончательно получаем
.
(1.5)
Случайные величины могут быть дискретными или непрерывными. Примером дискретной случайной величины является число попаданий при п выстрелах.
Непрерывные случайные величины принимают любое значение в заданном интервале. В качестве примеров можно указать на такие случайные величины, как ошибки и результаты измерений, ординаты морских волн, углы качки корабля, величины изгибающих моментов на волнении и т. п.
1.2. Функции распределения и числовые характеристики случайных величин
Ограничимся рассмотрением непрерывных случайных величин, наиболее важных для целей излагаемого курса.
Обозначим случайные величины большими буквами X, Y, Z, а их возможные значения соответственно малыми буквами х, у, z.
Функцией распределения F(x) случайной величины Х называется вероятность того, что эта случайная величина примет значения, меньшие х, т.е.
F(x)= Р(X <х). (1.6)
Функция распределения F(x) называется также интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения. Этой функции присущи следующие свойства:
1) она является
неубывающей функцией от х,
т. е. при
;
2) при
;
3) при
.
Вид функции распределения для непрерывной случайной величины X показан на рис. 1.1.
Рис. 1.1. Вид функции распределения F(х).
Функция
F(х)
безразмерна. Вероятность того, что
случайная величина заключена в интервале
значений от
до
,
будет
(1.7)
Если интервал
уменьшать и полагать величину
стремящейся к
,
то в пределе получим
Р
(X
=
)
=
0.
Это означает:
вероятность того, что непрерывная
случайная величина примет определенное
значение, равна нулю. Здесь мы сталкиваемся
со случаем, когда событие, состоящее в
равенстве X
=
,
возможно, но вероятность его оказывается
равной нулю.
Весьма удобной для рассмотрения является так называемая плотность вероятности непрерывной случайной величины X:
.
Функцию р(х) называют также дифференциальной функцией распределения (рис. 1.2). Она имеет размерность 1/х.
Рис. 1.2. Плотность вероятности р(х) случайной величины X .
Кривая, изображающая плотность вероятности р(х), называется кривой распределения. Очевидно
.
Поскольку
— неубывающая
функция от х,
то
;
.
(1.8)
Вероятность попадания случайной величины на участок значений от до
.
(1.9)
Величина
называется
элементом вероятности и представляет
собой вероятность попадания на участок
от х
до х
+ dх.
Функция распределения
F(х)
или плотность
вероятности
полностью
характеризует случайную величину с
вероятностной точки зрения. Однако в
ряде задач функция распределения может
быть неизвестна. В таких случаях для
описания вероятностных свойств могут
служить некоторые числовые характеристики
случайной величины. Среди этих
характеристик наибольшее значение
имеют математическое ожидание и
дисперсия случайной величины, которые
связаны с начальными моментами
дифференциальной функции распределения.
Начальным моментом s-го порядка называется величина
.
(1.10)
Математическим ожиданием М[X] называется начальный момент первого порядка
.
(1.11)
Нетрудно видеть,
что математическое ожидание, которое
в дальнейшем будем обозначать
,
равно абсциссе центра тяжести площади
под кривой плотности вероятности,
поскольку площадь под кривой на основании
(1.8) равна единице.
Математическое ожидание случайной величины характеризует ее некоторое среднее значение. Так изгибающий момент в сечении корпуса водоизмещающего судна на волнении может рассматриваться как случайная величина, для которой математическим ожиданием является изгибающий момент на тихой воде.
Пользуясь понятием математического ожидания, можно записать начальный момент s-го порядка как математическое ожидание s-й степени случайной величины:
(1.12)