4.6.4. Метод наибольшего правдоподобия.

При использовании этого метода результаты расчета энергетической характеристики выходного процесса будем рассматривать как выборку объема N из генеральной совокупности, представленной численным экспериментом с полнофакторным планом, предусматривающим варьирование факторов R_k на нескольких уровнях.

Выполним аппроксимацию зависимости с помощью метода наибольшего правдоподобия. Представляя эту зависимость в виде многочлена

, (4.38)

обозначая ошибки аппроксимации в узловых точках через и считая их распределенными по нормальному закону, запишем функцию правдоподобия следующим образом

,

где ; - стандарт распределения.

Наиболее правдоподобная оценка системы параметров соответствует наибольшему значению функции L, достигаемому тогда и только тогда, когда становится минимальной следующая сумма

.

Для нахождения параметров , соответствующих наименьшему значению суммы, продифференцируем ее по этим параметрам и результаты приравняем к нулю. Дифференцирование по параметру b_i приводит к уравнению

которое после очевидных упрощений имеет вид

(4.39)

Присваивая индексу i его возможные значения (i=1, 2, … , m) и исходя из уравнения (4.39), придем к системе m линейных уравнений относительно параметров . Решая эту систему, находим конкретный вид зависимости (4.38). Так как энергетическая характеристика входного процесса распределена по экспоненциальному закону

то распределение энергетической характеристики выходного процесса можно отыскать используя преобразование случайных величин, связанных зависимостью (4.38)

Амплитуды a_y выходного колебательного процесса связаны со случайной величиной квадратичной зависимостью, поэтому

Как указывалось выше, применение описанного метода эффективно при наличии взаимовляния отдельных спектральных составляющих входного процесса (морского волнения) на характеристики выходного процесса. Если каждое элементарное внешнее воздействие на судно вида (1.62) вызывает значительные ультрагармонические, либо субгармонические составляющие колебаний, то это можно считать одним из признаков наличия взаимовлияния. Появление таких составляющих необходимо учитывать при расчетах динамических составляющих внешних сил, определяющих прочность и волновую вибрацию как тихоходных, так и скоростных судов. Методы статистической линеаризации и функционального преобразования случайных величин не позволяют осуществлять учет взаимовлияния и поэтому могут привести к ошибкам достигающим 50% и более.

Приложение основные понятия теории вероятностей

Для достаточно глубокого усвоения вопросов, связанных с вероятностной оценкой параметров движения судов в условиях морского волнения, силовых воздействий на корпус судна, и оценкой прочности конструкций, необходимо знание основ теории вероятностей и теории случайных процессов. Теория вероятностей отражает закономерности, присущие случайным событиям (явлениям) массового характера. Имеется много монографий и учебных пособий, в которых подробно изложены основные понятия и методы теории вероятностей и теории случайных процессов [24, 31, 92]. Поэтому в данной главе приведены лишь те положения и результаты, относящиеся к теории вероятностей и теории случайных процессов, которые используются в современных подходах к оценке прочности и способствуют пониманию последующих глав книги.