4.3. Метод преобразования плотности распределения вероятностей функций случайных величин

Прежде чем приступить к изложению сути метода, сделаем несколько замечаний относительно области его использования. При решении задач статистической динамики линейные и нелинейные системы принято делить на инерционные и безынерционные (квазистатические). Если амплитуды и другие параметры выходного процесса зависят от частоты входного процесса, то такая система является инерционной. В противном случае систему можно считать безынерционной. Одним из признаков безынерционности является отсутствие сдвига фаз при преобразовании динамической системой входного сигнала.

Обычно считают, что метод преобразования ПРВ функций случайных величин пригоден лишь для исследования безынерционных систем, в связи с чем его часто называют квазистатическим методом [12-14, 69]. Однако представляется достаточно очевидным, что если система обладает инерционными свойствами, но входной случайный процесс реализуется на одной несущей частоте (частота фиксирована, а амплитуда обладает статистической изменчивостью, то использование рассматриваемого метода и в этом случае правомерно. Поэтому можно считать, что ошибки вычислений по этому методу возрастают с увеличением ширины спектра входного процесса, определяемой формулой (3.18). При малой ширине процесса волнения, которая может иметь место при очень большой его интенсивности, погрешность метода может быть приемлемой. Кроме того, метод можно использовать при анализе условных вероятностных распределений параметров динамической системы, определяемых при условии фиксирования частоты возмущения, например, при анализе амплитуд выходного процесса, вызванного воздействием на судно групп волн (см. раздел 2.4) с одинаковым периодом.

Предположим, что входной процесс (например, процесс волнения ) представлен в виде функции нескольких случайных факторов . В частных случаях это может быть осуществлено в соответствии с математическими моделями (1.44), (1.50^`), (1.61) или (1.10). Например, при использовании выражения (1.50) . Возможно также использование представления волнения в виде групп волн. Предпочтительными являются такие представления, которые содержат наименьшее число случайных факторов (например, (1.50)). Подставим выбранное выражение для модели волнения , содержащее случайные величины (факторы), в нелинейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений (4.1), описывающих поведение динамической системы.

При фиксированных значениях случайных входных величин соответствующая нелинейная задача динамики судна (динамики корпусных конструкций) может быть решена числено, т.е. установлена траектория изображающей точки в фазовом пространстве. Совокупность траекторий для множества сочетаний фиксированных значений случайных величин V_i представляет ценную информацию для решения нелинейных задач статической динамики. Такие траектории дают возможность установить функциональную связь между входными случайными величинами V_i и характерными параметрами A_i, определяющими состояние судна и его конструкций (например, их предельную прочность) в определенный момент времени или эволюцию во времени характеристик качества конструкций (например, изменение меры усталостного повреждения, подрастание длины трещины и т.д.). Наиболее часто в задачах строительной механики корабля в качестве таких характерных параметров рассматриваются амплитуды внешних сил, амплитуды упругих колебаний конструкций, амплитуды приведенных напряжений (деформаций) в конструктивных элементах, длины трещин, время инициирования усталостной трещины и т.д.

Допустим, что указанные функциональные соотношения между входными (V_i) и выходными (A_j) случайными параметрами установлены:

, (j = 1, 2, ..., ).

Эти уравнения могут быть разрешены относительно определенной группы аргументов (входных параметров), например, относительно A₁, A₂, ... ,

V_j = _j(A₁, A₂, ... , ; , ... ,), (j = 1, 2, ..., ).

Тогда ПРВ определяется соотношением

(4.6)

в котором - совместная ПРВ входных случайных параметров, выражающаяся в виде произведения ПРВ отдельных независимых параметров V_i, а через обозначен якобиан преобразования

.

В частном случае, при использовании модели волнения в форме (1.50) связь между входным параметром R и выходным параметром A устанавливается при фиксированном значении частоты, равном средней частоте волнения, и выражается наиболее просто:

A = (R), R = (A).

Здесь R - случайная величина с релееевским законом распределения (1.23) и параметром распределения D_.

ПРВ величины А определяется по формуле

.

Использование метода может привести к значительным ошибкам при относительно большой ширине спектра процесса волнения, наблюдаемой при малых балльностях волнения и при смешанном волнении, а также при наличии зависимости коэффициентов системы (4.1) от времени.